Heavisideova funkce

Z Multimediaexpo.cz

H₁(x)

H_1/2(x)

Heavisideova funkce (také jednotkový skok) je nespojitá funkce, jejíž hodnota je nulová pro zápornou hodnotu argumentu a rovna jedné pro kladnou hodnotu argumentu. Hodnota funkce pro nulový argument není podstatná a proto je různými autory definována odlišně (viz níže).

Často se používá v teorii řízení a při zpracování signálu, kde slouží k reprezentaci jednorázové změny signálu. Pojmenována byla po anglickém učenci Oliveru Heavisideovi.

Obsah

[skrýt]

1 Definice
- 1.1 Hodnota v nule
2 Vlastnosti
3 Související články
4 Externí odkazy

Definice

Heavisidova funkce (s parametrem p) se definuje předpisem:

H_{p} (x) = {\begin{matrix} 0 & pro x < 0 \\ p & pro x = 0 \\ 1 & pro x > 0 \end{matrix}

,

kde 0 ≤ p ≤ 1 je reálné číslo určující hodnotu funkce v bodě 0 (platí $p = H_{p} (0)$ ).

Index p je většinou volen pevně a v zápise se vynechává. Heavisidova funkce se potom značí pouze H(x).

Hodnota v nule

Parametr $p$ z definice funkce se nejčastěji volí jako 0, 1/2 nebo 1. Pro hodnotu 1/2 svědčí symetrie výsledné funkce a fakt, že hodnota zpětné transformace Fourierova obrazu funkce v bodech nespojitosti je aritmetický průměr limit zleva a zprava. Důvodem jiné volby může být praktičnost při jistých způsobech použití. V mnoha případech na hodnotě v nule vůbec nezáleží, např. integrujeme-li složený výraz s touto funkcí, neboť Lebesgueova míra množiny ${0}$ je nulová.

Nastavíme-li $p = H (0) = 1 / 2$ , můžeme definovat funkci pomocí znaménkové funkce (signum):

H (x) = \frac{1 + s g n (x)}{2}

Pro případ, kdy $p = 1$ nebo $p = 0$ můžeme též chápat Heavisideovu funkci takto: $H_{1} = χ_{⟨ 0, \infty)}$ respektive $H_{0} = χ_{(0, \infty)}$ kde $χ_{M}$ značí charakteristickou funkci množiny $M$ .

Vlastnosti

Mezi jednotkovým skokem a Diracovou funkcí existuje vztah, který lze zapsat jako

H (x) = \int_{- \infty}^{x} δ (t) d t

Derivací Heavisideovy funkce je tedy Diracova delta funkce, primitivní funkcí je tzv. náběhová funkce.

Související články

Externí odkazy

MathWorld, Heaviside Step Function: Mathworld.wolfram.com (anglicky)
MathWorks, Heaviside: Mathworks.com (anglicky)

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii