Kofinál
Z Multimediaexpo.cz
Kofinál či také kofinalita limitního ordinálu je matematický pojem z oblasti teorie množin (ordinální aritmetiky). Je to jedna ze základních charakteristik limitních ordinálů, vyjadřuje „míru přístupnosti horních pater ordinálu“.
Obsah |
Definice
Pojem kofinality má smysl definovat jen pro limitní ordinální čísla. Dále tedy \(\alpha,\, \beta\) budou označovat libovolná ordinální čísla a \( \gamma,\, \delta\) budou označovat vždy limitní ordinály.
Kofinální podmnožina
Řekneme, že množina \(A \subseteq \gamma\) je kofinální podmnožinou \(\gamma\), existuje-li pro každé \(\alpha \in \gamma \) takové \(\beta \in A\), že \(\alpha\, \leq\, \beta\). Říkáme také, že A je kofinální s \(\gamma\).
Například
- množina \(A=\{\omega + \alpha ; \alpha \in \omega \}\) je kofinální podmnožina ordinálu \(\omega \,+\, \omega\).
- množina \(A=\{\delta \cdot \alpha + \alpha ; \alpha \in \delta \}\) je kofinální podmnožina ordinálu \(\delta \cdot \delta\).
- množina \(A=\{\aleph_{\alpha}; \alpha \in \gamma \}\) je kofinální podmnožina ordinálu \(\aleph_{\gamma}\) pro každé \(\gamma\,>\,\omega\).
Kofinál a kofinalita
Kofinálem limitního ordinálu \(\gamma\) rozumíme nejmenší ordinál \(\alpha\) takový, že existuje množina \(A \subseteq \gamma\) kofinální s \(\gamma\), jejímž ordinálním typem je \(\alpha\) (tj. A je \(\in\)-izomorfní s \(\alpha\)). Kofinál limitního ordinálu \(\gamma\) se značí \(\, cf(\gamma)\).
Kofinalitou \(\gamma\) rozumíme mohutnost (kardinalitu) \(\, cf(\gamma)\). Lze ukázat, že pro každé \(\gamma\) je \(\, cf(\gamma)\) kardinální číslo, a tedy pojmy kofinál a kofinalita splývají.
Například
- \(cf(\omega + \omega) \, = \, \omega\)
- \(cf(\delta \cdot \delta) = \delta\)
- \(cf(\aleph_{\gamma})\,= \, cf(\gamma)\) pro každé \(\gamma\,>\,\omega\)
Regulární a singulární ordinál
Limitní ordinál, který je roven své kofinalitě se nazývá regulární. V opačném případě (je-li kofinalita menší) se nazývá singulární.
Vlastnosti
- Pro každý limitní ordinál \(\gamma\) platí \(\omega \, \leq \, cf(\gamma) \, \leq \, \gamma\)
- Pro každý limitní ordinál \(\gamma\) platí \(cf(cf(\gamma)) \, = \, cf(\gamma)\).
- Pro všechna \(\gamma\) je \(\, cf(\gamma)\) kardinální číslo.
Dále za předpokladu axiomu výběru:
- Pro každý nekonečný kardinál \(\kappa\) platí \(\kappa\, < \, \kappa^{cf(\kappa)}\).
Související články
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |