Pohyb po kružnici

Z Multimediaexpo.cz

(Přesměrováno)

Pohyb po kružnici je pohyb (hmotného bodu), jehož trajektorií je kružnice.

Poloha hmotného bodu při pohybu po kružnici v polární soustavě souřadnic (kolem středu v počátku souřadnic)

r = konst.
φ = f (t)

kde r je poloměr kružnice, φ je úhlová dráha

Poloha hmotného bodu při pohybu po kružnici v kartézské soustavě souřadnic (kolem středu v počátku souřadnic)

x = r . cos (φ + φ0)
y = r . sin (φ + φ0)

kde r je poloměr kružnice, φ je úhel, který svírá průvodič hmotného bodu s osou x, φ0 je úhel, který svírá průvodič s osou x na počátku pohybu (v čase t = 0). Při pohybu se mění pouze úhel φ.

Dráha pohybu po kružnici

Rozlišuje se obvodová dráha a úhlová dráha.
Obvodová dráha s je vzdálenost, kterou urazí hmotný bod během pohybu po obvodu kružnice.
Úhlová dráha φ je úhel, který urazí průvodič hmotného bodu během pohybu.
Mezi úhlovou dráhou a obvodovou dráhou je vztah: φ = s / r, kde r je poloměr kružnice.

Rychlost pohybu po kružnici

Podobně jako u dráhy se rozlišuje obvodová rychlost a úhlová rychlost. Kromě toho lze počítat okamžitou nebo průměrnou rychlost. Vektor obvodové rychlosti má směr tečny ke kružnici.

Okamžitá úhlová rychlost se rovná první derivaci úhlové dráhy φ podle času t

ω = dφ / dt

Průměrná úhlová rychlost se rovná podílu celkové úhlové dráhy φ a celkového času t

ω = φ / t

Okamžitá obvodová rychlost se rovná první derivaci dráhy spodle času t

v = ds / dt

Průměrná obvodová rychlost se rovná podílu celkové dráhy s a celkového času t

v = s / t

Vztah mezi úhlovou rychlostí a obvodovou rychlostí: ω = v / r, kde r je poloměr kružnice.

Zrychlení pohybu po kružnici

Při pohybu po kružnici se neustále mění směr vektoru rychlosti a může se měnit i velikost rychlosti. Změnu směru vyjadřuje dostředivé zrychlení, jehož směr je do středu kružnice. Protože směr dostředivého zrychlení je neustále kolmý na směr rychlosti, označuje se také jako normálové zrychlení (normálová složka zrychlení). Změnu velikosti rychlosti popisuje tečné zrychlení (tečná složka zrychlení). Změnu úhlové rychlosti vyjadřuje veličina úhlové zrychlení.

Dostředivé zrychlení ad

ad = ω2 . r , kde ω je úhlová rychlost, r je poloměr kružnice

nebo

ad = v2 / r , kde v je obvodová rychlost, r je poloměr kružnice

Tečné zrychlení se rovná první derivaci obvodové rychlosti v podle času t nebo druhé derivaci obvodové dráhy s podle času t

at = dv / dt

nebo

at = d2s / dt2

Celkové zrychlení se rovná vektorovému součtu dostředivého (normálového) a tečného zrychlení, velikost se vypočte podle vzorce: a = odmocnina (ad2 + at2)

Úhlové zrychlení ε se rovná první derivaci úhlové rychlosti ω podle času t nebo druhé derivaci úhlové dráhy φ podle času t:

ε = dω / dt

nebo

ε = d2φ / dt2

Perioda a frekvence

Perioda vyjadřuje dobu, za kterou hmotný bod opíše kružnici právě jednou. Frekvence určuje počet kružnic, které hmotný bod urazí za jednotku času.

Perioda T = 2 π / ω nebo T = 2 π r / v
Frekvence f = ω / 2 π nebo f = v / 2 π r , kde ω je úhlová rychlost, v je obvodová rychlost, r je poloměr kružnice

Síly působící při pohybu po kružnici

Dostředivé zrychlení je vyvoláno dostředivou silou, jejíž směr je do středu kružnice a jejíž velikost se nemění. Z 2. Newtonova pohybového zákona je velikost dostředivé síly Fd:

Fd = m . ω2 . r

nebo

Fd = m . v2 / r ,

kde m je hmotnost hmotného bodu, ω je úhlová rychlost, v je obvodová rychlost, r je poloměr kružnice.

Dostředivá síla má svou reakci v odstředivé síle, jejíž velikost je stejná jako velikost dostředivé síly, ale působí směrem od středu kružnice.

Související články

Externí odkazy

Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Pohyb_po_kru%C5%BEnici“