Lipschitzovsky spojité zobrazení

Z Multimediaexpo.cz

Lipschitzovsky spojité zobrazení, nebo také lipschitzovské zobrazení, je zesílením stejnoměrně spojitého zobrazení na metrických prostorech.

Jméno je podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (* 14. května 1832, † 7. října 1903).

Obsah 1 Definice 1.1 Lipschitzovsky spojité funkce 2 Vlastnosti 3 Související články 4 Externí odkazy

Definice

Lipschitzovsky spojité zobrazení je takové zobrazení \(f: M \rightarrow N\) mezi metrickými prostory \((M,d_M)\) a \((N,d_N)\), že existuje konstanta \(K > 0\) a platí

\(d_N(f(x) , f(y)) \leq K \ d_M(x, y)\)

pro každé \(x, y \in M\). Nejmenší taková konstanta \(K\) se nazývá lipschitzovská konstanta.

Lipschitzovsky spojité zobrazení s lipschitzovskou konstantou \(K < 1\) se nazývá kontraktivní zobrazení, nebo kontrakce.

Lipschitzovsky spojité funkce

Funkce \(f: \Omega \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) je lipschitzovsky spojitá, nebo lipschitzovská, pokud existuje konstanta \(K > 0\) a pro každé \(x, y \in \Omega\) platí

\(|f(x) - f(y)| \leq K |x - y|\).

Množina všech lipschitzovsky spojitých funkcí na oblasti \(\Omega\) se značí \(\mathcal{C}^{0,1}(\Omega)\).

Vlastnosti

Každé lipschitzovsky spojité zobrazení je stejnoměrně spojité a tedy i spojité.

Lipschitzovsky spojitá funkce je již diferencovatelná skoro všude na \(\Omega\).

Související články

• Hölderova podmínka

Externí odkazy

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii