Per partes

Z Multimediaexpo.cz

Integrace per partes (integrace po částech) se používá pro integrování součinu funkcí. Tato metoda je založena na větě o derivaci součinu:

\((uv)^\prime =u^\prime v+uv^\prime\)

Uplatníme-li tuto větu na podmínky pro integrál, dostáváme následující vzorce:

\(\int(uv)'\,\mathrm{d}x = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x\)
\(uv = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x\)

Úpravou druhé rovnice dostáváme metodu integrace označovanou jako per partes:

\(\int(uv')\,\mathrm{d}x = uv - \int(u'v)\,\mathrm{d}x\)

Druhý vztah získáme pouhou záměnou \(u \leftrightarrow v\).

Vztah pro integraci po částech bývá také vyjadřován pomocí diferenciálu jako

\(\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u\)

Metoda per partes je vhodná pro integrování součinu funkcí. Při hledání integrálu lze metodu per partes použít opakovaně.

Příklady

  • \(\int(x\cdot\cos x)\,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x - \int \sin x \,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x + \cos x + C\), kde bylo použito \(u = x, v^\prime = \cos x\)
  • Pro nalezení \(\int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x\) položíme \(u = x^2, v^\prime = \sin x\), takže dostaneme \(\int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x = - x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \mathrm{d}x\). Pro řešení získaného integrálu použijeme opět metodu per partes, přičemž položíme \(u = x, v^\prime = \cos x\), tzn. \(\int x \cos x \mathrm{d}x = x \sin x - \int \sin x \mathrm{d}x = x \sin x + \cos x\). Dosazením pak získáme konečný výsledek \(\int x^2 \sin x \mathrm{d}x = -x^2 \cos x + 2(x \sin x + \cos x) + C\)

Související články


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Per_partes“