Substituce (matematika)

Z Multimediaexpo.cz

Substituce je nahrazení složitějších výrazů jednoduššími výrazy. Používá se u složitých výrazů a výpočet je pak jednodušší (snadnější). ^[1]

Obsah [skrýt] 1 Ukázky řešení příkladu 1.1 Exponenciální rovnice 1.2 Goniometrická rovnice 2 Související články 3 Reference

Ukázky řešení příkladu

Exponenciální rovnice

Řešení exponenciální rovnice pomocí substituce:

1. $2^{2x}+2^x-6=0$
2. Zavedeme substituci $a=2^x$:
   $a^2+a-6=0$
3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
   $a_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}=\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}=\frac{-1\pm 5}{2}$
   
   $a_1=\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=2$
   
   $a_2=\frac{-1-5}{2}=\frac{-6}{2}=-3$
4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
   1. $2=2^x$
   2. $-3=2^x$
5. Vyřešíme obě rovnice:
   1. $2=2^x$
      1. Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo $2$ se dá napsat jako $2^1$:
         $2^1=2^x$
      2. $1=x$
      3. Výsledek je:
         $x=1$
         Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce.
   2. $-3=2^x$
      Rovnici bychom řešili pomocí logaritmu, ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit.

Goniometrická rovnice

Řešení goniometrické rovnice pomocí substituce:

1. $(\sin x{)}^2+2\sin x-3=0$
2. Zavedeme substituci $a=\sin x$:
   $a^2+2a-3=0$
3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
   $a_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}=\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm 4}{2}$
   
   $a_1=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1$
   
   $a_2=\frac{-2-4}{2}=\frac{-6}{2}=-3$
4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
   1. $\sin x=1$
   2. $\sin x=-3$
5. Vyřešíme obě rovnice:
   1. $\sin x=1$
      $x=\frac{1}{2}\pi +2k\pi$
   2. $\sin x=-3$
      $x=\varphi$
      Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.

Související články

• Substituční metoda (integrování)

Reference

1. ↑ Substituce - definice

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii