Topologický prostor

Z Multimediaexpo.cz

Topologický prostor je matematická struktura, která formalizuje pojem tvar. Umožňuje také definovat na prostoru takové pojmy, jako jsou konvergence, kompaktnost a spojitost. Topologickými prostory se zabývá topologie. Vyskytuje se prakticky ve všech odvětvích moderní matematiky.

Neformální úvod

Pojmy uzavřená množina, kompaktní množina, spojité zobrazení, konvergence posloupnosti a mnohé další byly původně zavedeny pro podmnožiny reálných čísel. Lze je však definovat podobně na libovolné množině, na které je dána metrika, tzv. metrický prostor. Metrika je funkce, která splňuje několik axiomů, které zobecňují klasickou euklidovskou vzdálenost.

Pojem „topologický prostor“ vznikl proto^[zdroj ?], aby bylo možné mnoho metrických pojmů rozšířit na ještě širší skupinu množin, včetně některých, na nichž nemá smysl zavádět strukturu metrického prostoru. Příkladem takových množin jsou ordinální čísla.

Topologie stanoví, které množiny pokládáme za otevřené, a všechny ostatní pojmy definujeme pomocí otevřených množin. Topologickým prostorem je tedy každá množina (tzv. nosná množina) spolu se systémem jejích podmnožin (tzv. otevřené množiny), pokud splňují axiomy topologického prostoru.

Každý metrický prostor je topologickým prostorem, protože sjednocení otevřených koulí přirozeně definují systém otevřených množin. Pojmy definované topologicky splývají s pojmy zavedenými pomocí metriky - například zobrazení mezi dvěma metrickými prostory je spojité v metrickém smyslu právě tehdy, pokud je spojité v topologickém smyslu.

Jiný přístup k topologii je matematické uchopení pojmu tvar. Pro běžná geometrická tělesa platí, že se dají na sebe vzájemně spojitě zobrazit, pokud mají stejnou topologii.

Definice

Topologickým prostorem nazveme množinu \(X\) společně s kolekcí \(\tau\) podmnožin \(X\), splňující následující axiomy:

1. \(\emptyset \in \tau\), \(X \in \tau\)
2. sjednocení libovolného počtu (tj. konečného, spočetného i nespočetného) množin z \(\tau\) leží v \(\tau\)
3. průnik konečného počtu množin z \(\tau\) leží v \(\tau\)

Kolekci \(\tau\) říkáme topologie na \(X\) (pojem topologie se také používá pro matematickou disciplínu). Množiny v \(\tau\) pak nazveme otevřené množiny, jejich doplňky v \(X\) uzavřené množiny.

Konkrétní topologický prostor bývá často označován jako \((X,\tau)\).

Homeomorfní topologické prostory

Spojitá deformace (homotopie) hrníčku na pneumatiku (toroid) ilustruje, že tyto dva předměty jsou topologicky shodné.

Říkáme, že dva topologické prostory jsou homeomorfní, pokud mezi nimi existuje homeomorfismus, tzn. zobrazení které je prosté a na, je spojité a jeho inverze je spojitá. Z pohledu topologie jsou takové prostory identické (mají stejné topologické vlastnosti).

Topologie zkoumá tvar objektů bez přihlédnutí ke vzdálenostem. Například písmena K a I jsou topologicky shodná (homeomorfní), pokud je chápeme jako dvojrozměrné útvary (tužka kreslí čáru o nenulové tloušťce), protože písmeno I vyrobené z velmi pružné gumy lze vytvarovat v K (a také v C,E,F,G,J,L atd.). Písmeno O je topologicky shodné s A,D,P, zatímco písmeno B je topologicky shodné s číslicí 8.

Pokud písmena chápeme jako křivku ve dvourozměrném prostoru (jako tužka kreslící úsečky o nulové tloušťce), pak písmena E a T (bez patiček) jsou topologicky shodná navzájem, ale liší se od K, neboť K má bod, ze kterého „vyhýbají“ čtyři křivky (je jedno, zda jsou to úsečky nebo křivé čáry), zatímco E takový bod nemá.

Každé dvě křivky, které neprotínají samy sebe jsou homeomorfní (například písmena I a L - nezáleží na tom, že L má ostrý zlom).

Jemnější a hrubší topologie

O dvou topologiích J, H na téže množině řekneme, že J je jemnější než H (neboli H je hrubší, než J), pokud H\(\subseteq\)J, tedy každá množina otevřená v topologii H je otevřená i podle J.

Nejhrubší topologie na libovolné množině \(X\) je tzv. triviální topologie, která je tvořena pouze množinou \(X\) a prázdnou množinou \(\emptyset\), tzn. \(\tau = \{\emptyset,X\}\).

Naopak nejjemnější topologie na jakékoli množině je diskrétní topologie, která obsahuje všechny podmnožiny X. Každá podmnožina X je tak zároveň otevřená i uzavřená.

Příklady topologických prostorů

• Množina reálných čísel s topologií generovanou otevřenými intervaly. Znamená to, že množina je otevřená, pokud vznikla sjednocením otevřených intervalů
• Metrický prostor je topologický prostor s topologií otevřených množin generovaných otevřenými koulemi. To zahrnuje i Banachovy prostory či Hilbertovy prostory.
• Graf (teorie grafů).
• Varieta s topologií definovanou daným atlasem.
• Riemannovy plochy
• Obecné lebesguovy prostory
• Dlouhá přímka
• Algebraická varieta se Zariského topologií. Tato topologie, používaná v algebraické geometrii není Hausdorfovská.

Literatura

• John L. Kelley: General topology, Birkhäuser, 1975
• James Munkres: Topology, Cambridge University Press, 2nd edition, 1988

Související články

• Zobrazení
• Spojité zobrazení
• Kompaktní množina
• Algebraická topologie
• Diferenciální topologie
• Hausdorffův prostor
• Topologická grupa