Zlatý prostorový úhel
Z Multimediaexpo.cz
Zlatý prostorový úhel se v geometrii nazývá úhel, který rozděluje kouli na dva úhly α a β pro které platí, že poměr menšího úhlu α k většímu β je rovný poměru většího úhlu k celé kouli:
- \(\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{4\pi}\) - mysleno v steradiánech
- \(\alpha + \beta = 4 \pi\)
Výpočet
Obsah |
Výpočet užitím zlatého řezu
Zlatý úhel souvisí s číslem nazývaným zlatý řez (\( \varphi = \frac {1+ \sqrt 5}{2}\)), což je vlastně poměr mezi jednotlivými úhly:
- \(\beta = \varphi\alpha\)
- \(4 \pi = \varphi\beta\)
Po vzájemném dosazení rovnic dostaneme:
- \(4 \pi = \varphi^2\alpha\)
Z tohoto vztahu můžeme vypočítat hodnotu zlatého prostorového úhlu:
- \(\frac {4 \pi} {\varphi^2} = \alpha \)
Výpočet bez znalosti zlatého řezu
Pokud nevíme o existenci zlatého řezu nebo jeho souvislosti se zlatým prostorovým úhlem, můžeme se pokusit spočítat velikost zlatého prostorového úhlu jinak.
Úloha je zadána dvěma rovnicemi.
- \(\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{4\pi}\)
- \(\alpha + \beta = 4 \pi\)
Z druhé rovnice vyjádříme β a dosadíme jej do první rovnice.
- \(\beta = 4\pi - \alpha\)
- \(\frac{\alpha}{4\pi - \alpha} = \frac{4\pi - \alpha}{4\pi}\)
Vynásobením čitatelů jmenovateli se zbavíme zlomků.
- \(4 \pi \alpha = 16 \pi^2 - 8 \pi \alpha + \alpha^2\)
- \(0 = 16 \pi^2 - 12 \pi \alpha + \alpha^2\)
A z kvadratické rovnice vypočteme dva kořeny α1 a α2.
- \(\alpha_{1,2} = \frac {12 \pi \pm \sqrt {80} \pi} {32}\)
- \(\alpha_{1} = \frac {12 \pi + \sqrt {80} \pi} {32} = \frac {\sqrt {14} \pi}{8}\)
- \(\alpha_{2} = \frac {12 \pi - \sqrt {80} \pi} {32} = \frac {\pi}{4}\)
Související články
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |