Eulerova rovnost

Z Multimediaexpo.cz

Nemáte oprávnění „upravit tuto stránku“. Důvod:

Můžete si prohlédnout a zkopírovat zdrojový kód této stránky:

[[Soubor:Euler's identity scarification, 3PiCon, Springfield-Flickr.jpg|thumb|300px|Eulerova rovnost jako unikátní [[jizva]].]] '''Eulerova rovnost''' (také '''Eulerova identita''') je základní vzorec [[komplexní analýza|komplexní analýzy]]. Svým jednoduchým a elegantním vyjádřením (<big>\(e^{i\pi}+1=0\)</big>) a fundamentálním významem připomíná [[Einstein]]ovu rovnici ([[E=mc²]]). == Znění == Eulerova rovnost je vzorec <big>\(e^{i\pi}+1=0\)</big> , kde * ''e'' je [[Eulerovo číslo]] * ''i'' je [[imaginární jednotka]] * ''π'' je [[Pí (číslo)|Ludolfovo číslo]] == Elegantnost vyjádření == Eulerova rovnost dává do souvislosti tři základní [[aritmetika|aritmetické]] [[Operace (matematika)|operace]] ([[Sčítání|součet]], [[součin]] a [[Umocňování|mocnina]]) s pěti základními analytickými [[konstanta]]mi ([[Eulerovo číslo|e]], [[Imaginární jednotka|i]], [[pí (číslo)|π]], [[Nula|0]], [[1 (číslo)|1]]). Přitom se v této rovnosti vyskytuje každá z operací i každá z konstant právě jednou a žádné jiné operace ani konstanty se v ní nevyskytují. == Odvození == [[Soubor:Euler's formula.png|thumb|300px|Eulerův vzorec pro libovolný úhel.]] Eulerova rovnost je speciálním případem takzvaného [[Eulerův vzorec|Eulerova vzorce]], který říká : <big>\(e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!\)</big> pro každé [[reálné číslo]] ''x''. Speciálně pro : <big>\(x = \pi,\,\!\)</big> dostaneme : <big>\(e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!\)</big> Protože :<big>\(\cos \pi = -1 \, \! \)</big> a :<big>\(\sin \pi = 0,\,\!\)</big> vyplývá odtud : <big>\(e^{i \pi} = -1\,\!\)</big> a převedením na druhou stranu : <big>\(e^{i \pi} +1 = 0.\,\!\)</big> == Zobecnění == Eulerova rovnost je speciálním případem obecnější identity, která říká, že součet všech ''n''-tých odmocnin z jedné je nulový pro ''n''&nbsp;>&nbsp;1: :<big>\(\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .\)</big> Eulerova rovnost vznikne dosazením ''n = 2''. == Související články == * [[Komplexní analýza]] * [[Eulerův vzorec]] * [[Seznam pojmů pojmenovaných po Leonhardu Eulerovi]] {{Článek z Wikipedie}} [[Kategorie:Komplexní analýza]] [[Kategorie:Matematické věty a důkazy]] [[Kategorie:Rovnice]]

Návrat na stránku „Eulerova rovnost“.