Eulerova rovnost
Z Multimediaexpo.cz
Eulerova rovnost (také Eulerova identita) je základní vzorec komplexní analýzy.
Svým jednoduchým a elegantním vyjádřením (\(e^{i\pi}+1=0\)) a fundamentálním významem připomíná Einsteinovu rovnici (E=mc²).
Obsah |
Znění
Eulerova rovnost je vzorec \(e^{i\pi}+1=0\) , kde
- e je Eulerovo číslo
- i je imaginární jednotka
- π je Ludolfovo číslo
Elegantnost vyjádření
Eulerova rovnost dává do souvislosti tři základní aritmetické operace (součet, součin a mocnina) s pěti základními analytickými konstantami (e, i, π, 0, 1). Přitom se v této rovnosti vyskytuje každá z operací i každá z konstant právě jednou a žádné jiné operace ani konstanty se v ní nevyskytují.
Odvození
Eulerova rovnost je speciálním případem takzvaného Eulerova vzorce, který říká
- \(e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!\)
pro každé reálné číslo x. Speciálně pro
- \(x = \pi,\,\!\)
dostaneme
- \(e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!\)
Protože
- \(\cos \pi = -1 \, \! \)
a
- \(\sin \pi = 0,\,\!\)
vyplývá odtud
- \(e^{i \pi} = -1\,\!\)
a převedením na druhou stranu
- \(e^{i \pi} +1 = 0.\,\!\)
Zobecnění
Eulerova rovnost je speciálním případem obecnější identity, která říká, že součet všech n-tých odmocnin z jedné je nulový pro n > 1:
- \(\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .\)
Eulerova rovnost vznikne dosazením n = 2.
Související články
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |