Umocňování

Z Multimediaexpo.cz

Umocňování je matematická funkce, která vyjadřuje opakované násobení. Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo násobení ke sčítání. Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení:

\(\underbrace{ a\cdot a\cdot a\cdots a }_{b \operatorname{-kr\acute{a}t}} =a^b\)

V tomto vzorci se \(a\) označuje jako základ mocniny (mocněnec) a \(b\) se nazývá exponent (mocnitel). Výsledek je „\(b\)-tá mocnina čísla \(a\)“, „\(a\) na \(b\)-tou“.

Například \(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\) je „tři na čtvrtou“, což zapisujeme \(3^4\). Speciálním případem prázdného součinu je \(a^0 = 1\) (pro \(a \ne 0\), viz níže).

Tato funkce je vlastně posloupnost definovatelná rekurentně: Pro \(a \ne 0\) je \(a^0=1\) a \(a^{n+1}=a^n \cdot a\) (pro \(a=0\) je \(a^n = 0\) (pro \(n>0\)).

Když z technických důvodů nelze psát exponent na horní pozici, používá se často zápis ve tvaru a^b, někdy také a**b.

Zobecnění definice

Výše uvedená definice mocnění jako opakovaného násobení je použitelná jen pro přirozené exponenty. Záporné exponenty označují mocninu převráceného čísla:

\(a^{-n} = \frac{1}{a^n} = \left( \frac{1}{a} \right)^n\)

Zobecnění pro racionální exponent poskytuje definice:

\(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\).

Zobecnění na celý obor reálných čísel (tzn. rozšíření definice o mocniny s iracionálními exponenty) se pak dosahuje dodefinováním pomocí limity.

Mocniny s komplexním základem jsou definovány následujícím způsobem: Je-li \(a + b i = r \cdot e^{i\varphi}\) s reálnými čísly \(a, b, n, r > 0\) a \(\varphi\), pak platí (viz Moivrovu větu)

\(z^n\equiv (a+bi)^n = (r \cdot e^{i\varphi})^n = r^n \cdot e^{i\; n\varphi} = r^n \cdot (\cos (n \varphi) + i \sin (n \varphi))\)

Pokud je navíc komplexním číslem i exponent \(a\), pak je mocnina dána jako

\(z^a=e^{a \operatorname{Ln} z}=e^{a\left(\operatorname{ln}|z|+i\varphi\right)},\)

kde argument \(\varphi\) má nutně skok, jehož polohu však lze zvolit. Volí se zpravidla \(\varphi\) z intervalu \(\langle 0; 2\pi)\) nebo \((-\pi; \pi \rangle\). Tedy mocnina je obecně mnohoznačná funkce a pokud není \(a\) celé číslo, mocnina není na celé komplexní rovině holomorfní.

Jiná užitečná definice, z oblasti teorie množin, říká, že \(a^b = \{f | f\ \mathrm{zobrazuje}\ b \rightarrow a \}.\)

Např. \(2^3 = \{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1) \}.\)

Mocnina je zde tedy množina zobrazení.

Vlastnosti

\(\left(ab\right)^x = a^x \cdot b^x\) (pro reálné \(x\) a kladná reálná \(a, b\); pro celočíselné \(x\) platí pro všechna nenulová \(a, b\)).
\(\left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x}\) (za stejných podmínek jako předchozí)
\(a^x \cdot a^y = a^{x+y}\)
\(a^{-x} = \frac{1}{a^x},\quad a\neq 0 \)
\(\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y},\quad a\neq 0\)
\(\left(a^x\right)^y = a^{xy}\) (pro reálná \(x, y\))
\(a^0 = 1\) pro \(a \ne 0\) (pro 0⁰ viz níže)

Umocňování není obecně komutativní (2³ = 8 ≠ 9 = 3²).

Mocniny nuly

Pokud je mocnitel kladný, pak je mocnina nuly nula. 0^x = 0, kde x > 0.

Pokud je mocnitel záporný, pak je mocnina nuly (0^−x, kde x > 0) nedefinována, protože dělení nulou není na množině reálných čísel ani na množině komplexních čísel definováno.

Nula na nultou

Zcela obecně není výraz 0⁰ definován. Např. limita v tomto tvaru je tzv. neurčitý výraz a pro její vyčíslení je potřeba použít jinou techniku (např. L'Hospitalovo pravidlo). Důvodem pro tuto nedefinovanost je dvojí pohled na tento výraz: První pohled na výraz hledí jako na funkci x⁰, která je všude (kromě nuly) rovna jedné, takže je možno ji v nule dodefinovat stejně a klade se 0⁰ = 1. Naopak druhý pohled vychází z funkce 0^x, která je pro všechna kladná x nulová, takže se i v nule dodefinuje 0⁰ = 0.

V běžných situacích se používá hlavně první definice, podle které je

0⁰ = 1,

jindy je 0⁰ ponecháno nedefinované, v některých kontextech je možno se setkat i s použitím druhé definice.

Pro použití první definice existuje několik závažných důvodů, mezi nejdůležitější patří binomická věta, pro jejíž obecnou platnost je tato definice vyžadována.

Zvláštní mocniny

V každodenním životě často používáme mocniny o základu deset (to jsou 1, 10, 100, 1000, …). Tyto mocniny tvoří základ naší desítkové číselné soustavy, také v soustavě SI jsou předpony násobků jednotek označením mocnin deseti – 1 kg = 10³ g apod.

Velmi časté je rovněž využití druhé mocniny (a²), tj. vynásobení čísla a sama sebou. Druhá mocnina je v běžné řeči někdy označována jako čtverec, protože obsah čtverce je roven druhé mocnině délky jeho hrany (S = a²).

Počítače při zpracování dat používají dvojkovou soustavu, založenou na mocninách čísla 2. Z toho důvodu se někdy v informatice používají násobky jednotek jako mocniny o základu 2 – 1 KiB = 2¹⁰ B = 1024 B. (Viz též binární předpony.)

V matematice jsou zvlášť důležité mocniny o základu e ≅ 2,71828, takzvaného Eulerova čísla.

Rychlost růstu

Mocnina je velice rychle rostoucí funkce, jedna z nejrychleji rostoucích běžně používaných funkcí. Příkladem rychlosti růstu je následující pozorování:

Příklad 1

List papíru se dá obvykle přeložit (na polovinu) jen asi 7krát. Výsledkem je 128 (2⁷) vrstev papíru. Pokud by (teoreticky) takový papír byl přeložen 42krát, vrstva papíru by měla tloušťku rovnající se vzdálenosti ze Země na Měsíc.

Příklad 2

Každý člověk má dva biologické rodiče, čtyři prarodiče, osm praprarodičů atd. Pokud sledujeme tento rodokmen dále, dejme tomu 70 generací, dostaneme se až do doby narození Ježíše Krista. V tomto případě počet předků každého člověka představuje 2⁷⁰ = 1 180 591 620 717 411 303 424 lidí. To výrazně přesahuje počet všech dosud žijících lidí. Tento příklad pouze ilustrativně zobrazuje hodnotu růstu ale nepočítá s faktem, že každý jedinec nemá své jedinečné rodiče – nepočítá tedy s alternativou, že dva lidé (sourozenci) mají stejné rodiče.

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii