Umocňování

Z Multimediaexpo.cz

Umocňování je matematická funkce, která vyjadřuje opakované násobení. Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo násobení ke sčítání. Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení:

\(\underbrace{ a\cdot a\cdot a\cdots a }_{b \operatorname{-kr\acute{a}t}} =a^b\)

V tomto vzorci se \(a\) označuje jako základ mocniny (mocněnec) a \(b\) se nazývá exponent (mocnitel). Výsledek je „\(b\)-tá mocnina čísla \(a\)“, „\(a\) na \(b\)-tou“.

Například \(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\) je „tři na čtvrtou“, což zapisujeme \(3^4\). Speciálním případem prázdného součinu je \(a^0 = 1\) (pro \(a \ne 0\), viz níže).

Tato funkce je vlastně posloupnost definovatelná rekurentně: Pro \(a \ne 0\) je \(a^0=1\) a \(a^{n+1}=a^n \cdot a\) (pro \(a=0\) je \(a^n = 0\) (pro \(n>0\)).

Když z technických důvodů nelze psát exponent na horní pozici, používá se často zápis ve tvaru a^b, někdy také a**b.

Obsah

Zobecnění definice

Výše uvedená definice mocnění jako opakovaného násobení je použitelná jen pro přirozené exponenty. Záporné exponenty označují mocninu převráceného čísla:

\(a^{-n} = \frac{1}{a^n} = \left( \frac{1}{a} \right)^n\)

Zobecnění pro racionální exponent poskytuje definice:

\(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\).

Zobecnění na celý obor reálných čísel (tzn. rozšíření definice o mocniny s iracionálními exponenty) se pak dosahuje dodefinováním pomocí limity.

Mocniny s komplexním základem jsou definovány následujícím způsobem: Je-li \(a + b i = r \cdot e^{i\varphi}\) s reálnými čísly \(a, b, n, r > 0\) a \(\varphi\), pak platí (viz Moivrovu větu)

\(z^n\equiv (a+bi)^n = (r \cdot e^{i\varphi})^n = r^n \cdot e^{i\; n\varphi} = r^n \cdot (\cos (n \varphi) + i \sin (n \varphi))\)

Pokud je navíc komplexním číslem i exponent \(a\), pak je mocnina dána jako

\(z^a=e^{a \operatorname{Ln} z}=e^{a\left(\operatorname{ln}|z|+i\varphi\right)},\)

kde argument \(\varphi\) má nutně skok, jehož polohu však lze zvolit. Volí se zpravidla \(\varphi\) z intervalu \(\langle 0; 2\pi)\) nebo \((-\pi; \pi \rangle\). Tedy mocnina je obecně mnohoznačná funkce a pokud není \(a\) celé číslo, mocnina není na celé komplexní rovině holomorfní.

Jiná užitečná definice, z oblasti teorie množin, říká, že \(a^b = \{f | f\ \mathrm{zobrazuje}\ b \rightarrow a \}.\)

Např. \(2^3 = \{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1) \}.\)

Mocnina je zde tedy množina zobrazení.

Vlastnosti

  • \(\left(ab\right)^x = a^x \cdot b^x\) (pro reálné \(x\) a kladná reálná \(a, b\); pro celočíselné \(x\) platí pro všechna nenulová \(a, b\)).
  • \(\left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x}\) (za stejných podmínek jako předchozí)
  • \(a^x \cdot a^y = a^{x+y}\)
  • \(a^{-x} = \frac{1}{a^x},\quad a\neq 0 \)
  • \(\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y},\quad a\neq 0\)
  • \(\left(a^x\right)^y = a^{xy}\) (pro reálná \(x, y\))
  • \(a^0 = 1\) pro \(a \ne 0\) (pro 00 viz níže)

Umocňování není obecně komutativní (2³ = 8 ≠ 9 = 3²).

Mocniny nuly

Pokud je mocnitel kladný, pak je mocnina nuly nula. 0x = 0, kde x > 0.

Pokud je mocnitel záporný, pak je mocnina nuly (0−x, kde x > 0) nedefinována, protože dělení nulou není na množině reálných čísel ani na množině komplexních čísel definováno.

Nula na nultou

Zcela obecně není výraz 00 definován. Např. limita v tomto tvaru je tzv. neurčitý výraz a pro její vyčíslení je potřeba použít jinou techniku (např. L'Hospitalovo pravidlo). Důvodem pro tuto nedefinovanost je dvojí pohled na tento výraz: První pohled na výraz hledí jako na funkci x0, která je všude (kromě nuly) rovna jedné, takže je možno ji v nule dodefinovat stejně a klade se 00 = 1. Naopak druhý pohled vychází z funkce 0x, která je pro všechna kladná x nulová, takže se i v nule dodefinuje 00 = 0.

V běžných situacích se používá hlavně první definice, podle které je

00 = 1,

jindy je 00 ponecháno nedefinované, v některých kontextech je možno se setkat i s použitím druhé definice.

Pro použití první definice existuje několik závažných důvodů, mezi nejdůležitější patří binomická věta, pro jejíž obecnou platnost je tato definice vyžadována.

Zvláštní mocniny

V každodenním životě často používáme mocniny o základu deset (to jsou 1, 10, 100, 1000, …). Tyto mocniny tvoří základ naší desítkové číselné soustavy, také v soustavě SI jsou předpony násobků jednotek označením mocnin deseti – 1 kg = 10³ g apod.

Velmi časté je rovněž využití druhé mocniny (a2), tj. vynásobení čísla a sama sebou. Druhá mocnina je v běžné řeči někdy označována jako čtverec, protože obsah čtverce je roven druhé mocnině délky jeho hrany (S = a2).

Počítače při zpracování dat používají dvojkovou soustavu, založenou na mocninách čísla 2. Z toho důvodu se někdy v informatice používají násobky jednotek jako mocniny o základu 2 – 1 KiB = 210 B = 1024 B. (Viz též binární předpony.)

V matematice jsou zvlášť důležité mocniny o základu e ≅ 2,71828, takzvaného Eulerova čísla.

Rychlost růstu

Mocnina je velice rychle rostoucí funkce, jedna z nejrychleji rostoucích běžně používaných funkcí. Příkladem rychlosti růstu je následující pozorování:

Příklad 1

List papíru se dá obvykle přeložit (na polovinu) jen asi 7krát. Výsledkem je 128 (27) vrstev papíru. Pokud by (teoreticky) takový papír byl přeložen 42krát, vrstva papíru by měla tloušťku rovnající se vzdálenosti ze Země na Měsíc.

Příklad 2

Každý člověk má dva biologické rodiče, čtyři prarodiče, osm praprarodičů atd. Pokud sledujeme tento rodokmen dále, dejme tomu 70 generací, dostaneme se až do doby narození Ježíše Krista. V tomto případě počet předků každého člověka představuje 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 lidí. To výrazně přesahuje počet všech dosud žijících lidí. Tento příklad pouze ilustrativně zobrazuje hodnotu růstu ale nepočítá s faktem, že každý jedinec nemá své jedinečné rodiče – nepočítá tedy s alternativou, že dva lidé (sourozenci) mají stejné rodiče.

Související články


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Umoc%C5%88ov%C3%A1n%C3%AD“