Gaussova eliminační metoda

Z Multimediaexpo.cz

Nemáte oprávnění „upravit tuto stránku“. Důvod:

Můžete si prohlédnout a zkopírovat zdrojový kód této stránky:

'''Gaussova eliminační metoda''' ('''Gaussova eliminace''') je metodou řešení [[soustava lineárních rovnic|soustavy lineárních algebraických rovnic]]. Jedná se o metodu konečnou, tj. metodu vedoucí k (alespoň teoreticky) přesnému řešení v konečně mnoha krocích, postavenou na tzv. [[LU rozklad|LU rozkladu]] matice soustavy. Gaussovu eliminaci lze také použít pro výpočet [[inverzní matice]] nebo pro výpočet [[Determinant|determinantu]] matice (viz [[Determinant#Gaussova eliminace|Gaussova eliminace]] v článku [[Determinant]]). == Řešení soustavy lineárních rovnic == Obecné zadání problému je následující: :<big>\(\sum_{j=1}^n a_{i,j}x_{j} = b, \mbox{ pro } i = 1, 2, \ldots{}, n\)</big> maticově :<big>\(Ax=b, \quad A\in\mathbb{R}^{n\times n}, \; b,x\in\mathbb{R}^n\)</big> kde <big>\(A\)</big> je matice soustavy, <big>\(b\)</big> pravá strana. [[Soustava lineárních rovnic|Soustavu lineárních algebraických rovnic]] lze vyjádřit ''[[Soustava lineárních rovnic#Z.C3.A1pis|rozšířenou maticí soustavy]]''. Řádkovými (nikoliv sloupcovými) úpravami převádíme tuto matici do tvaru, kdy se pod [[hlavní diagonála|hlavní diagonálou]] nachází pouze [[nula|nuly]]. Upravená matice pak odpovídá soustavě rovnic, která je [[Soustava rovnic|ekvivalentní]] s původní soustavou. Po těchto úpravách lze obvykle ihned zjistit, zda existují nějaká [[řešení soustavy rovnic|řešení soustavy]]. Pokud je [[hodnost matice|hodnost]] upravené matice (tzn. bez pravé strany) různá od hodnosti upravené rozšířené matice, potom podle [[Frobeniova věta|Frobeniovy věty]] soustava nemá žádné řešení. Je-li hodnost upravené matice stejná jako hodnost upravené rozšířené matice, a současně je tato hodnost rovna počtu neznámých soustavy, pak má soustava právě jedno řešení. Pokud je hodnost upravené matice stejná jako hodnost upravené rozšířené matice, avšak menší než počet neznámých soustavy, má soustava nekonečně mnoho řešení, přičemž <big>\(n - h\)</big> [[neznámá|neznámých]], kde <big>\(n\)</big> je počet neznámých a <big>\(h\)</big> je hodnost upravené matice, zvolíme libovolně a ostatní jsou touto volbou jednoznačně určeny. === Příklad === Máme soustavu rovnic: <center> <big>\(\begin{matrix}8x &- y &- 2z & = & 0\\ - x &+ 7y &- z &= &10\\ -2x &- y &+ 9z &= &23\end{matrix}\)</big> </center> a hledáme čísla ''x'', ''y'', ''z'', která jsou řešením dané soustavy. Cílem je eliminovat jednotlivé neznámé z jednotlivých rovnic soustavy: z první rovnice eliminujeme ''x'' (pomocí úprav druhé a třetí rovnice), z druhé ''y'', z třetí ''z''. Jsou povoleny následující operace, které nezmění [[hodnost matice|hodnost]] soustavy: * násobení či dělení jednotlivých řádků nenulovým číslem * prohazování libovolných řádků soustavy * přičítání násobků jednotlivých řádků k jinému řádku '''Postup pro výše uvedený příklad:''' ''První krok'' – eliminace ''x'' z druhého a třetího řádku. # první řádek neupravujeme # druhý řádek násobíme 8 a přičteme první řádek # třetí řádek násobíme 4 a přičteme první řádek <center> <big>\(\begin{matrix} 8x &- y &- 2z& = & 0\\ &55y &- 10z &= &80\\ &-5y &+ 34z &= &92\end{matrix}\)</big></center> ''Druhý krok'' – eliminace ''y'' ze třetího řádku # první řádek neupravujeme # druhý řádek neupravujeme # třetí řádek násobíme 11 a přičteme druhý řádek # vydělíme třetí řádek 364 a získáme řešení ''z'' = 3 <center> <big>\(\begin{matrix} 8x & - y & - 2z & = & 0\\ &55y &- 10z &= &80\\ & & z &= &3 \end{matrix}\)</big></center> ''Třetí krok'' – zpětné dosazení # v druhém řádku dosadíme za ''z'' a vyřešíme ''y'' # v prvním řádku dosadíme za ''z'' a ''y'' a dořešíme ''x'' <center><big>\(x = 1, \ y = 2,\ z = 3 \)</big></center> === Maticový tvar === Maticové řešení je často přehlednější a tento tvar je též vhodný k [[algoritmus|algoritmizaci]]. Do matice zapisujeme koeficienty následujícím způsobem - levá strana (matice <big>\(n \times n\)</big>) koeficienty od neznámých, pravý sloupec obsahuje [[vektor]] pravých stran - výsledná matice <big>\((n+1) \times n\)</big> se nazývá ''[[rozšířená matice soustavy|rozšířená matice]] [[Soustava lineárních rovnic|soustavy lineárních rovnic]]''. ''Zadání:'' <big>\(\begin{pmatrix}8 & -1 & -2 & 0 \\ -1 & 7 & -1 & 10 \\ -2 & -1 & 9 & 23 \end{pmatrix}\)</big> ''Po prvním kroku:'' <br /> <big>\(\begin{pmatrix} 8 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 55 & -10 & 80 \\ 0 & -5 & 34 & 92\end{pmatrix}\)</big> ''Po druhém kroku:'' <br /> <big>\(\begin{pmatrix} 8 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 55 & -10 & 80 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{pmatrix}\)</big> ''Po třetím kroku:'' <br /> Získáváme [[Čtvercová matice#Diagonální matice|diagonální matici]] pro koeficienty s hodnotami pro neznámé v posledním sloupci: <big>\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \)</big> == Výpočet inverzní matice == :''Viz také [[Inverzní matice#Výpočet inverzní matice|Výpočet inverzní matice]] a [[Inverzní matice#Příklad|příklad]] v článku [[Inverzní matice]].'' Gaussovou eliminací lze také použít pro výpočet [[inverzní matice]] '''A'''^-1 k dané [[čtvercová matice|čtvercové matici]] '''A''' o velikosti (''n'' × ''n'') podle následujícího postupu. Sestavíme matici '''B''' o rozměru (''n'' × 2''n'') složenou z původní matice '''A''' a [[jednotková matice|jednotkové matice]] '''I'''_n. (Odborně řečeno, řešíme současně ''n'' pravých stran tvořených [[Báze (algebra)|bázovými]] vektory.) :<big>\(\boldsymbol{B} = \left(\mathbf{A} \mid \mathbf{I}_n\right) = \left(\begin{array}{cccc|cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right)\)</big> Povolenými řádkovými úpravami (záměna řádků, vynasobení řádku skalárem, přičtení jednoho řádku k jinému) převedeme matici '''B''' do tvaru, kdy jednotková matice '''I'''_n bude vlevo. V takovém případě bude inverzní matice '''A'''^-1 v pravé polovině upravené matice. :<big>\(\left(\mathbf{I}_n \mid \mathbf{A}^{-1}\right)\)</big> == Související články == * [[Soustava lineárních rovnic]] * [[Inverzní matice]] * [[Determinant]] * [[Matice]] == Externí odkazy == * [http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/mzahrad/algebra.html Pěstujeme lineární algebru] * Řešení soustavy lineárních rovnic Gaussovou eliminací: http://www.fsid.cvut.cz/cz/U201/zapg9.htm * Gaussova a Gauss-Jordanova eliminace: http://kfe.fjfi.cvut.cz/~limpouch/numet/linalg/node7.html * Mathworld, Gaussian Elimination: http://mathworld.wolfram.com/GaussianElimination.html * Stručný popis G.E. a použití: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~krysl/gauss.pdf * Gaussova eliminace bez výběru hlavního prvku: http://e-learning.tul.cz/elearning/obr/system/matlab/246/583/gauss2_vstupni.html * [http://www.umat.feec.vutbr.cz/~novakm/linearni_algebra/ Lineární algebra: práce s maticemi] == Reference == * ''Přehled užité matematiky'', Karel Rektorys a spolupracovníci {{Článek z Wikipedie}} [[Kategorie:Lineární algebra]] [[Kategorie:Rovnice]] [[Kategorie:Numerická matematika]]

Návrat na stránku „Gaussova eliminační metoda“.