Gaussova eliminační metoda

Z Multimediaexpo.cz

Gaussova eliminační metoda (Gaussova eliminace) je metodou řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Jedná se o metodu konečnou, tj. metodu vedoucí k (alespoň teoreticky) přesnému řešení v konečně mnoha krocích, postavenou na tzv. LU rozkladu matice soustavy.

Gaussovu eliminaci lze také použít pro výpočet inverzní matice nebo pro výpočet determinantu matice (viz Gaussova eliminace v článku Determinant).

Obsah

Řešení soustavy lineárních rovnic

Obecné zadání problému je následující:

\(\sum_{j=1}^n a_{i,j}x_{j} = b, \mbox{ pro } i = 1, 2, \ldots{}, n\)

maticově

\(Ax=b, \quad A\in\mathbb{R}^{n\times n}, \; b,x\in\mathbb{R}^n\)

kde \(A\) je matice soustavy, \(b\) pravá strana.

Soustavu lineárních algebraických rovnic lze vyjádřit rozšířenou maticí soustavy. Řádkovými (nikoliv sloupcovými) úpravami převádíme tuto matici do tvaru, kdy se pod hlavní diagonálou nachází pouze nuly. Upravená matice pak odpovídá soustavě rovnic, která je ekvivalentní s původní soustavou.

Po těchto úpravách lze obvykle ihned zjistit, zda existují nějaká řešení soustavy. Pokud je hodnost upravené matice (tzn. bez pravé strany) různá od hodnosti upravené rozšířené matice, potom podle Frobeniovy věty soustava nemá žádné řešení. Je-li hodnost upravené matice stejná jako hodnost upravené rozšířené matice, a současně je tato hodnost rovna počtu neznámých soustavy, pak má soustava právě jedno řešení. Pokud je hodnost upravené matice stejná jako hodnost upravené rozšířené matice, avšak menší než počet neznámých soustavy, má soustava nekonečně mnoho řešení, přičemž \(n - h\) neznámých, kde \(n\) je počet neznámých a \(h\) je hodnost upravené matice, zvolíme libovolně a ostatní jsou touto volbou jednoznačně určeny.

Příklad

Máme soustavu rovnic:

\(\begin{matrix}8x &- y &- 2z & = & 0\\ - x &+ 7y &- z &= &10\\ -2x &- y &+ 9z &= &23\end{matrix}\)

a hledáme čísla x, y, z, která jsou řešením dané soustavy.

Cílem je eliminovat jednotlivé neznámé z jednotlivých rovnic soustavy: z první rovnice eliminujeme x (pomocí úprav druhé a třetí rovnice), z druhé y, z třetí z.

Jsou povoleny následující operace, které nezmění hodnost soustavy:

  • násobení či dělení jednotlivých řádků nenulovým číslem
  • prohazování libovolných řádků soustavy
  • přičítání násobků jednotlivých řádků k jinému řádku

Postup pro výše uvedený příklad: První krok – eliminace x z druhého a třetího řádku.

  1. první řádek neupravujeme
  2. druhý řádek násobíme 8 a přičteme první řádek
  3. třetí řádek násobíme 4 a přičteme první řádek
\(\begin{matrix} 8x &- y &- 2z& = & 0\\ &55y &- 10z &= &80\\ &-5y &+ 34z &= &92\end{matrix}\)

Druhý krok – eliminace y ze třetího řádku

  1. první řádek neupravujeme
  2. druhý řádek neupravujeme
  3. třetí řádek násobíme 11 a přičteme druhý řádek
  4. vydělíme třetí řádek 364 a získáme řešení z = 3
\(\begin{matrix} 8x & - y & - 2z & = & 0\\ &55y &- 10z &= &80\\ & & z &= &3 \end{matrix}\)

Třetí krok – zpětné dosazení

  1. v druhém řádku dosadíme za z a vyřešíme y
  2. v prvním řádku dosadíme za z a y a dořešíme x
\(x = 1, \ y = 2,\ z = 3 \)

Maticový tvar

Maticové řešení je často přehlednější a tento tvar je též vhodný k algoritmizaci.

Do matice zapisujeme koeficienty následujícím způsobem - levá strana (matice \(n \times n\)) koeficienty od neznámých, pravý sloupec obsahuje vektor pravých stran - výsledná matice \((n+1) \times n\) se nazývá rozšířená matice soustavy lineárních rovnic.

Zadání:

\(\begin{pmatrix}8 & -1 & -2 & 0 \\ -1 & 7 & -1 & 10 \\ -2 & -1 & 9 & 23 \end{pmatrix}\)

Po prvním kroku:

\(\begin{pmatrix} 8 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 55 & -10 & 80 \\ 0 & -5 & 34 & 92\end{pmatrix}\)

Po druhém kroku:

\(\begin{pmatrix} 8 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 55 & -10 & 80 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{pmatrix}\)

Po třetím kroku:
Získáváme diagonální matici pro koeficienty s hodnotami pro neznámé v posledním sloupci:

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \)

Výpočet inverzní matice

Viz také Výpočet inverzní matice a příklad v článku Inverzní matice.

Gaussovou eliminací lze také použít pro výpočet inverzní matice A-1 k dané čtvercové matici A o velikosti (n × n) podle následujícího postupu.

Sestavíme matici B o rozměru (n × 2n) složenou z původní matice A a jednotkové matice In. (Odborně řečeno, řešíme současně n pravých stran tvořených bázovými vektory.)

\(\boldsymbol{B} = \left(\mathbf{A} \mid \mathbf{I}_n\right) = \left(\begin{array}{cccc|cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right)\)

Povolenými řádkovými úpravami (záměna řádků, vynasobení řádku skalárem, přičtení jednoho řádku k jinému) převedeme matici B do tvaru, kdy jednotková matice In bude vlevo. V takovém případě bude inverzní matice A-1 v pravé polovině upravené matice.

\(\left(\mathbf{I}_n \mid \mathbf{A}^{-1}\right)\)

Související články

Externí odkazy

Reference

  • Přehled užité matematiky, Karel Rektorys a spolupracovníci


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Gaussova_elimina%C4%8Dn%C3%AD_metoda“