Frobeniova věta
Z Multimediaexpo.cz
Frobeniova věta z lineární algebry udává nutnou a postačující podmínku pro existenci řešení soustavy lineárních rovnic, konkrétně v závislosti na hodnostech matice soustavy a její rozšířené matice.
Je pojmenována podle německého matematika Ferdinanda Georga Frobenia (* 1849, † 1917).
Obsah |
Formální znění
Nehomogenní soustava lineárních algebraických rovnic má řešení, právě když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy: \(\operatorname{rank}(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})=\operatorname{rank}\boldsymbol{A}\).
V tomto případě je soustava vnitřně bezrozporná. Pokud je hodnost matice \(\boldsymbol{A}\) rovna počtu neznámých, má soustava jedno řešení. Pokud je \(\operatorname{rank}\boldsymbol{A}\) menší než počet neznámých, je řešení více.
Hodnost matice \(\boldsymbol{A}\) nemůže být z definice větší než počet neznámých, ale je-li hodnost rozšířené matice soustavy \((\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})\) větší než počet neznámých, nemůže být splněna podmínka Frobeniovy věty a soustava proto nemá žádné řešení.
V případě, že soustava má řešení, pak množina řešení tvoří afinní podprostor dimenze <math display="inline">n-\operatorname{rank}\boldsymbol{A}\)</big>, kde \(n\) značí počet neznámých.
Ukázka
Soustava rovnic v oboru reálných čísel
- \( \begin{array}{rcrcrcr} x &+& y &+& 2z &=& 3\\ x &+& y &+& z &=& 1\\ 2x &+& 2y &+& 2z &=& 2 \end{array}\)
má matici soustavy
- \(\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix}\)
a rozšířenou matici
- \((\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b}) = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \end{array}\right)\)
Protože obě mají stejnou hodnost, konkrétně \(\operatorname{rank}\boldsymbol{A}=\operatorname{rank}(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})=2\), existuje alespoň jedno řešení. Navíc je jejich hodnost menší než počet neznámých, tj. 3, a proto existuje nekonečně mnoho řešení.
Naopak soustava
\(\begin{array}{rcrcrcr} x &+& y &+& 2z &=& 3\\ x &+& y &+& z &=& 1\\ 2x &+& 2y &+& 2z &=& 5 \end{array}\)
má matici soustavy
- \(\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix}\)
a rozšířenou matici
- \((\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b}) = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 5 \end{array}\right) \)
V tomto případě má matice soustavy hodnost 2, avšak rozšířená matice má hodnost 3; takže tato soustava rovnic nemá řešení. Nárůst počtu lineárně nezávislých sloupců způsobil, že soustava rovnic je nekonzistentní.
Pojmenování
Věta se ve světě uvádí i pod jmény dalších matematiků, kteří na této otázce pracovali – patří sem Leopold Kronecker, Alfredo Capelli, Georges Fontené a Eugène Rouché:
- Konkrétně se nazývá Rouchého–Capelliho věta v anglicky a portugalsky mluvících zemích a Itálii
- Kroneckerova-Capelliho věta v německy mluvících zemích, Polsku, Rumunsku, Srbsku a Rusku
- Rouchého–Fonténého věta ve frankofonním světě a Rouchého–Frobeniova věta ve španělsky mluvících zemích.
Související články
Literatura
- BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha : Matfyzpress. ISBN 978-80-7378-392-1.
- HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha : Matfyzpress. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39.
- OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha : 2007, [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |