Trojúhelníková nerovnost

'''Trojúhelníková nerovnost''' v [[Matematika|matematice]] tvrdí, že součet [[Délka|délek]] dvou [[Strana (geometrie)|stran]] [[trojúhelník]]u není nikdy menší než délka strany třetí. Obecněji to znamená, že cesta z ''A'' do ''B'' a pak do ''C'' není kratší než cesta z ''A'' přímo do ''C''. Tato [[nerovnost (matematika)|nerovnost]] je [[Matematická věta|větou]] v mnoha oblastech matematiky, např. [[Reálné číslo|reálných číslech]], [[Eukleidovský prostor|Euklidovském prostoru]], [[Lp prostor|L<sup>p</sup> prostorech]]. Slouží jako [[axiom]] pro zavedení pojmu [[normovaný vektorový prostor]] a [[metrický prostor]].

== Reálná a komplexní čísla ==

V [[Těleso (algebra)|tělese]] reálných a [[Komplexní číslo|komplexních čísel]] platí trojúhelníková nerovnost pro [[Absolutní hodnota|absolutní hodnoty]] libovolných čísel <big>\(x\)</big> a <big>\(y\)</big> ve tvaru

<big>\(|x + y| \leq |x| + |y|\)</big>

=== Odvození trojúhelníkové nerovnosti v reálných číslech ===

Pro absolutní hodnotu reálného čísla vždy platí

<big>\(x \leq |x|\)</big> a zároveň

<big>\(-x \leq |x|\)</big>.

Použijeme-li obě tyto nerovnosti současně pro dvě čísla <big>\(x\)</big> a <big>\(y\)</big> a sečteme-li je, dostáváme

<big>\(x + y \leq |x| + |y|\)</big> a

<big>\(- x - y \leq |x| + |y|\)</big>.

Z definice absolutní hodnoty <big>\(|x + y|\)</big> víme, že může nabývat jen hodnot <big>\(x + y\)</big> nebo <big>\(- x - y\)</big>. Tedy kombinací posledních dvou nerovností dostáváme trojúhelníkovou nerovnost.

== Normovaný vektorový prostor ==

V [[Normovaný vektorový prostor|normovaném vektorovém prostoru]] <big>\(V\)</big> s [[Norma|normou]] <big>\(\| \cdot \|\)</big> má trojúhelníková nerovnost tvar

<big>\(\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|\)</big>

pro každé dva [[vektor]]y <big>\(x\)</big> a <big>\(y\)</big> z <big>\(V\)</big>.

=== L<sup>p</sup> prostory ===

V [[Lp prostor|L<sup>p</sup> prostorech]] se trojúhelníkové nerovnosti říká [[Minkowského nerovnost]]. Díky ní se ukazuje, že L<sup>p</sup> prostory jsou normované vektorové prostory.

== Metrický prostor ==

V [[Metrický prostor|metrickém prostoru]] <big>\(M\)</big> s [[Metrika|metrikou]] <big>\(d\)</big> má trojúhelníková nerovnost tvar:

<big>\(d(x,z) \leq d(x, y) + d(y,z) \)</big>

to jest, že vzdálenost <big>\(x\)</big> a <big>\(z\)</big> není větší než součet vzdálenosti z <big>\(x\)</big> do <big>\(y\)</big> a vzdálenosti z <big>\(y\)</big> do <big>\(z\)</big>.

== Důsledky ==

Úpravou trojúhelníkové nerovnosti dostáváme jiný vhodný tvar

<big>\(\left| |x| - |y| \right| \leq |x - y|\)</big> pro absolutní hodnoty v reálných a komplexních číslech,

<big>\(\left| \|x\| - \|y\| \right| \leq  \|x - y\|\)</big> pro normované vektorové prostory a

<big>\(\left| d(x, y) - d(x,z) \right| \leq  d(y,z)\)</big> pro metrické prostory.

Z těchto tvarů už plyne, že [[absolutní hodnota]], norma i [[Funkce (matematika)|funkce]] <big>\(d(x, \cdot)\)</big> jsou [[Lipschitzovská funkce|Lipschitzovské]], tedy i [[Spojitá funkce|spojité funkce]].


{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Nerovnosti]]
[[Kategorie:Trojúhelník]]