Trojúhelníková nerovnost
Z Multimediaexpo.cz
Trojúhelníková nerovnost v matematice tvrdí, že součet délek dvou stran trojúhelníku není nikdy menší než délka strany třetí. Obecněji to znamená, že cesta z A do B a pak do C není kratší než cesta z A přímo do C. Tato nerovnost je větou v mnoha oblastech matematiky, např. reálných číslech, Euklidovském prostoru, Lp prostorech. Slouží jako axiom pro zavedení pojmu normovaný vektorový prostor a metrický prostor.
Obsah |
Reálná a komplexní čísla
V tělese reálných a komplexních čísel platí trojúhelníková nerovnost pro absolutní hodnoty libovolných čísel \(x\) a \(y\) ve tvaru
\(|x + y| \leq |x| + |y|\)
Odvození trojúhelníkové nerovnosti v reálných číslech
Pro absolutní hodnotu reálného čísla vždy platí
\(x \leq |x|\) a zároveň
\(-x \leq |x|\).
Použijeme-li obě tyto nerovnosti současně pro dvě čísla \(x\) a \(y\) a sečteme-li je, dostáváme
\(x + y \leq |x| + |y|\) a
\(- x - y \leq |x| + |y|\).
Z definice absolutní hodnoty \(|x + y|\) víme, že může nabývat jen hodnot \(x + y\) nebo \(- x - y\). Tedy kombinací posledních dvou nerovností dostáváme trojúhelníkovou nerovnost.
Normovaný vektorový prostor
V normovaném vektorovém prostoru \(V\) s normou \(\| \cdot \|\) má trojúhelníková nerovnost tvar
\(\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|\)
pro každé dva vektory \(x\) a \(y\) z \(V\).
Lp prostory
V Lp prostorech se trojúhelníkové nerovnosti říká Minkowského nerovnost. Díky ní se ukazuje, že Lp prostory jsou normované vektorové prostory.
Metrický prostor
V metrickém prostoru \(M\) s metrikou \(d\) má trojúhelníková nerovnost tvar:
\(d(x,z) \leq d(x, y) + d(y,z) \)
to jest, že vzdálenost \(x\) a \(z\) není větší než součet vzdálenosti z \(x\) do \(y\) a vzdálenosti z \(y\) do \(z\).
Důsledky
Úpravou trojúhelníkové nerovnosti dostáváme jiný vhodný tvar
\(\left| |x| - |y| \right| \leq |x - y|\) pro absolutní hodnoty v reálných a komplexních číslech,
\(\left| \|x\| - \|y\| \right| \leq \|x - y\|\) pro normované vektorové prostory a
\(\left| d(x, y) - d(x,z) \right| \leq d(y,z)\) pro metrické prostory.
Z těchto tvarů už plyne, že absolutní hodnota, norma i funkce \(d(x, \cdot)\) jsou Lipschitzovské, tedy i spojité funkce.
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |