Cauchyovská posloupnost

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 14. 8. 2022, 14:48

Cauchyovská posloupnost (také bolzanovská posloupnost) je taková posloupnost prvků metrického prostoru, jejíž členy se k sobě blíží libovolně blízko. Každá konvergentní posloupnost je nutně cauchyovská. Pomocí cauchyovské posloupnosti se definuje úplný metrický prostor. V něm cauchyovské posloupnosti a konvergentní posloupnosti splývají. To pak přináší výhodu při určování, zda posloupnost má limitu, neboť stačí ověřit, zda je cauchyovská, bez nutnosti samotnou limitu zjišťovat, jako např. u Banachovy věty o pevném bodě.

Definice

V metrickém prostoru M s metrikou d je posloupnost \(( x_1, x_2, \ldots )</math> cauchyovská, pokud pro ni platí tzv. Bolzanova-Cauchyho podmínka:

\(\forall \varepsilon > 0\; \exists n_0 \in \mathbb{N}\; \forall m, n \ge n_0: d(x_m, x_n) < \varepsilon</math>

Příklady

Harmonická posloupnost \(\frac 1 n</math> je cauchyovská.
Každá konvergentní posloupnost v metrickém prostoru je cauchyovská, tzn. Bolzanova-Cauchyho podmínka je nutná podmínka konvergence, nikoli však obecně postačující (viz příklad racionálních čísel). Metrický prostor \(\mathbb{A}</math>, v kterém má každá cauchyovská posloupnost limitu, která náleží do tohoto metrického prostoru \(\mathbb{A}</math>, se nazývá úplný metrický prostor.
Posloupnost racionálních čísel \((1 + 1/n)^n</math> je cauchyovská, ale její limita je Eulerovo číslo, což je číslo iracionální. Prostor racionálních čísel (s eukleidovskou metrikou) proto není úplný metrický prostor.
Každá cauchyovská posloupnost je omezená. Z Bolzano-Weierstrassovy věty pak plyne, že každá cauchyovská posloupnost reálných čísel je už konvergentní, tzn. že prostor reálných čísel je úplný.

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 3: / Řádka 3: @@
 == Definice ==
-V metrickém prostoru ''M'' s metrikou ''d'' je posloupnost <math>( x_1, x_2, \ldots )</math> '''cauchyovská''', pokud pro ni platí tzv. Bolzanova-Cauchyho podmínka:
+V metrickém prostoru ''M'' s metrikou ''d'' je posloupnost <big>\(( x_1, x_2, \ldots )</math> '''cauchyovská''', pokud pro ni platí tzv. Bolzanova-Cauchyho podmínka:
-<math>\forall \varepsilon > 0\; \exists n_0 \in \mathbb{N}\; \forall m, n \ge n_0: d(x_m, x_n) < \varepsilon</math>
+<big>\(\forall \varepsilon > 0\; \exists n_0 \in \mathbb{N}\; \forall m, n \ge n_0: d(x_m, x_n) < \varepsilon</math>
 == Příklady ==
-* [[Harmonická posloupnost]] <math>\frac 1 n</math> je cauchyovská.
+* [[Harmonická posloupnost]] <big>\(\frac 1 n</math> je cauchyovská.
-* Každá konvergentní posloupnost v metrickém prostoru je cauchyovská, tzn. Bolzanova-Cauchyho podmínka je nutná podmínka konvergence, nikoli však obecně postačující (viz příklad racionálních čísel). Metrický prostor <math>\mathbb{A}</math>, v kterém má každá cauchyovská posloupnost limitu, která náleží do tohoto metrického prostoru <math>\mathbb{A}</math>, se nazývá [[úplný metrický prostor]].
+* Každá konvergentní posloupnost v metrickém prostoru je cauchyovská, tzn. Bolzanova-Cauchyho podmínka je nutná podmínka konvergence, nikoli však obecně postačující (viz příklad racionálních čísel). Metrický prostor <big>\(\mathbb{A}</math>, v kterém má každá cauchyovská posloupnost limitu, která náleží do tohoto metrického prostoru <big>\(\mathbb{A}</math>, se nazývá [[úplný metrický prostor]].
-* Posloupnost [[racionální číslo|racionálních čísel]] <math>(1 + 1/n)^n</math> je cauchyovská, ale její limita je [[Eulerovo číslo]], což je [[iracionální číslo|číslo iracionální]]. Prostor racionálních čísel (s eukleidovskou metrikou) proto není úplný metrický prostor.
+* Posloupnost [[racionální číslo|racionálních čísel]] <big>\((1 + 1/n)^n</math> je cauchyovská, ale její limita je [[Eulerovo číslo]], což je [[iracionální číslo|číslo iracionální]]. Prostor racionálních čísel (s eukleidovskou metrikou) proto není úplný metrický prostor.
 * Každá cauchyovská posloupnost je omezená. Z [[Bolzano-Weierstrassova věta|Bolzano-Weierstrassovy věty]] pak plyne, že každá cauchyovská posloupnost [[reálné číslo|reálných čísel]] je už konvergentní, tzn. že prostor reálných čísel je úplný.