Harmonická posloupnost
Z Multimediaexpo.cz
Posloupnost se nazývá harmonická, jestliže převrácené hodnoty jejích členů tvoří nenulovou aritmetickou posloupnost.
Tedy posloupnost daná předpisem
\(a_n = \frac 1 {cn+d}\), kde \(n \in \mathbb{N},\; c, d \in \mathbb{R},\; c \ne 0, d\ne 0\)
je harmonická.
Mohlo by se stát, že jeden člen posloupnosti nebude definován, proto je vhodné používat projektivní rozšíření reálné přímky o nevlastní bod \(\infty\).
Příklad
Posloupnost převrácených hodnot přirozených čísel \(1, \frac 1 2, \frac 1 3,\cdots\) nebo posloupnost \((\frac {2} {n+1})_{n=1}^\infty\) je harmonická.
Název souvisí s hudební harmonií, v přirozeném ladění jsou poměry kmitočtů tónů stupnice dány malými celými čísly.
Vlastnosti
Každý člen harmonické posloupnosti kromě prvního je harmonickým průměrem sousedních členů (pokud používáme nevlastní bod, jinak to neplatí pro oba sousedy členu, který není definován).
Posloupnost částečných součtů je vždy divergentní, součet je \(+\infty\) nebo \( -\infty\), což plyne ze srovnávacího kritéria porovnáním s harmonickou řadou.
Související články
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |