Cauchyovská posloupnost
Z Multimediaexpo.cz
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
| Řádka 3: | Řádka 3: | ||
== Definice == | == Definice == | ||
| - | V metrickém prostoru ''M'' s metrikou ''d'' je posloupnost <big>\(( x_1, x_2, \ldots )</ | + | V metrickém prostoru ''M'' s metrikou ''d'' je posloupnost <big>\(( x_1, x_2, \ldots )\)</big> '''cauchyovská''', pokud pro ni platí tzv. Bolzanova-Cauchyho podmínka: |
| - | <big>\(\forall \varepsilon > 0\; \exists n_0 \in \mathbb{N}\; \forall m, n \ge n_0: d(x_m, x_n) < \varepsilon</ | + | <big>\(\forall \varepsilon > 0\; \exists n_0 \in \mathbb{N}\; \forall m, n \ge n_0: d(x_m, x_n) < \varepsilon\)</big> |
== Příklady == | == Příklady == | ||
| - | * [[Harmonická posloupnost]] <big>\(\frac 1 n</ | + | * [[Harmonická posloupnost]] <big>\(\frac 1 n\)</big> je cauchyovská. |
| - | * Každá konvergentní posloupnost v metrickém prostoru je cauchyovská, tzn. Bolzanova-Cauchyho podmínka je nutná podmínka konvergence, nikoli však obecně postačující (viz příklad racionálních čísel). Metrický prostor <big>\(\mathbb{A}</ | + | * Každá konvergentní posloupnost v metrickém prostoru je cauchyovská, tzn. Bolzanova-Cauchyho podmínka je nutná podmínka konvergence, nikoli však obecně postačující (viz příklad racionálních čísel). Metrický prostor <big>\(\mathbb{A}\)</big>, v kterém má každá cauchyovská posloupnost limitu, která náleží do tohoto metrického prostoru <big>\(\mathbb{A}\)</big>, se nazývá [[úplný metrický prostor]]. |
| - | * Posloupnost [[racionální číslo|racionálních čísel]] <big>\((1 + 1/n)^n</ | + | * Posloupnost [[racionální číslo|racionálních čísel]] <big>\((1 + 1/n)^n\)</big> je cauchyovská, ale její limita je [[Eulerovo číslo]], což je [[iracionální číslo|číslo iracionální]]. Prostor racionálních čísel (s eukleidovskou metrikou) proto není úplný metrický prostor. |
* Každá cauchyovská posloupnost je omezená. Z [[Bolzano-Weierstrassova věta|Bolzano-Weierstrassovy věty]] pak plyne, že každá cauchyovská posloupnost [[reálné číslo|reálných čísel]] je už konvergentní, tzn. že prostor reálných čísel je úplný. | * Každá cauchyovská posloupnost je omezená. Z [[Bolzano-Weierstrassova věta|Bolzano-Weierstrassovy věty]] pak plyne, že každá cauchyovská posloupnost [[reálné číslo|reálných čísel]] je už konvergentní, tzn. že prostor reálných čísel je úplný. | ||
Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51
Cauchyovská posloupnost (také bolzanovská posloupnost) je taková posloupnost prvků metrického prostoru, jejíž členy se k sobě blíží libovolně blízko. Každá konvergentní posloupnost je nutně cauchyovská. Pomocí cauchyovské posloupnosti se definuje úplný metrický prostor. V něm cauchyovské posloupnosti a konvergentní posloupnosti splývají. To pak přináší výhodu při určování, zda posloupnost má limitu, neboť stačí ověřit, zda je cauchyovská, bez nutnosti samotnou limitu zjišťovat, jako např. u Banachovy věty o pevném bodě.
Definice
V metrickém prostoru M s metrikou d je posloupnost \(( x_1, x_2, \ldots )\) cauchyovská, pokud pro ni platí tzv. Bolzanova-Cauchyho podmínka:
\(\forall \varepsilon > 0\; \exists n_0 \in \mathbb{N}\; \forall m, n \ge n_0: d(x_m, x_n) < \varepsilon\)
Příklady
- Harmonická posloupnost \(\frac 1 n\) je cauchyovská.
- Každá konvergentní posloupnost v metrickém prostoru je cauchyovská, tzn. Bolzanova-Cauchyho podmínka je nutná podmínka konvergence, nikoli však obecně postačující (viz příklad racionálních čísel). Metrický prostor \(\mathbb{A}\), v kterém má každá cauchyovská posloupnost limitu, která náleží do tohoto metrického prostoru \(\mathbb{A}\), se nazývá úplný metrický prostor.
- Posloupnost racionálních čísel \((1 + 1/n)^n\) je cauchyovská, ale její limita je Eulerovo číslo, což je číslo iracionální. Prostor racionálních čísel (s eukleidovskou metrikou) proto není úplný metrický prostor.
- Každá cauchyovská posloupnost je omezená. Z Bolzano-Weierstrassovy věty pak plyne, že každá cauchyovská posloupnost reálných čísel je už konvergentní, tzn. že prostor reálných čísel je úplný.
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |