Hamiltonova–Jacobiho rovnice

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Hamiltonova-Jacobiho rovnice je rovnice, která představuje netradiční formulaci klasické mechaniky pouze pomocí jedné nelineární parciální diferenciální rovnice pro akci. Tato formulace není příliš vhodná pro počítání jednoduchých mechanických úloh, naproti tomu představuje formulaci, která umožňuje dobrý limitní přechod mezi mechanikou klasickou a kvantovou.

Známe-li hamiltonián systému, jako funkci zobecněných poloh a hybností, pak má Hamiltonova-Jacobiho rovnice tvar:

\(H\left(q_1,q_2,\cdots, q_n, \frac{\partial S}{\partial q_1},\frac{\partial S}{\partial q_2},\cdots,\frac{\partial S}{\partial q_n}\right)+\frac{\partial S}{\partial t}=0\)

Jedná se tedy o nelineární parciální diferenciální rovnici pro akci S, která je funkcí proměnných \(q_1,q_2,\cdots, q_n\), tj. zobecněných souřadnic.

Nalezené řešení \(S(q_1,q_2,\cdots, q_n,\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,t)\) obsahuje mimo souřadnic taktéž n integračních konstant \(\alpha_i\).

Vlastní pohyb soustavy je pak určen rovnicemi: \(\frac{\partial S}{\partial \alpha_i}=\beta_i,\)

což je soustava n rovnic pro n neznámých souřadnic. Z těchto rovnic jsme principiálně schopni vyjádřit vývoj jednotlivých souřadnic s časem, Integrační konstanty \(\alpha_i, \beta_i\) souvisejí s počáteční polohou a hybností soustavy, existuje zde tedy 2n stupňů volnosti.

Související články

Hamiltonova funkce

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 3: / Řádka 3: @@
 Známe-li [[hamiltonián]] systému, jako funkci zobecněných poloh a [[hybnost]]í, pak má Hamiltonova-Jacobiho rovnice tvar:
-<math>H\left(q_1,q_2,\cdots, q_n, \frac{\partial S}{\partial q_1},\frac{\partial S}{\partial q_2},\cdots,\frac{\partial S}{\partial q_n}\right)+\frac{\partial S}{\partial t}=0</math>
+<big>\(H\left(q_1,q_2,\cdots, q_n, \frac{\partial S}{\partial q_1},\frac{\partial S}{\partial q_2},\cdots,\frac{\partial S}{\partial q_n}\right)+\frac{\partial S}{\partial t}=0\)</big>
-Jedná se tedy o nelineární [[parciální diferenciální rovnice|parciální diferenciální rovnici]] pro akci S, která je funkcí proměnných <math>q_1,q_2,\cdots, q_n</math>, tj. zobecněných souřadnic.
+Jedná se tedy o nelineární [[parciální diferenciální rovnice|parciální diferenciální rovnici]] pro akci S, která je funkcí proměnných <big>\(q_1,q_2,\cdots, q_n\)</big>, tj. zobecněných souřadnic.
-Nalezené řešení <math>S(q_1,q_2,\cdots, q_n,\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,t)</math> obsahuje mimo souřadnic taktéž n [[integrační konstanta|integračních konstant]] <math>\alpha_i</math>.
+Nalezené řešení <big>\(S(q_1,q_2,\cdots, q_n,\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,t)\)</big> obsahuje mimo souřadnic taktéž n [[integrační konstanta|integračních konstant]] <big>\(\alpha_i\)</big>.
-Vlastní pohyb soustavy je pak určen rovnicemi: <math>\frac{\partial S}{\partial \alpha_i}=\beta_i,</math>
+Vlastní pohyb soustavy je pak určen rovnicemi: <big>\(\frac{\partial S}{\partial \alpha_i}=\beta_i,\)</big>
-což je [[soustava rovnic|soustava n rovnic]] pro n [[neznámá|neznámých]] souřadnic. Z těchto rovnic jsme principiálně schopni vyjádřit vývoj jednotlivých souřadnic s časem, Integrační konstanty <math>\alpha_i, \beta_i</math> souvisejí s počáteční polohou a hybností soustavy, existuje zde tedy ''2n'' [[stupeň volnosti|stupňů volnosti]].
+což je [[soustava rovnic|soustava n rovnic]] pro n [[neznámá|neznámých]] souřadnic. Z těchto rovnic jsme principiálně schopni vyjádřit vývoj jednotlivých souřadnic s časem, Integrační konstanty <big>\(\alpha_i, \beta_i\)</big> souvisejí s počáteční polohou a hybností soustavy, existuje zde tedy ''2n'' [[stupeň volnosti|stupňů volnosti]].
 == Související články ==