Kardinální číslo

Z Multimediaexpo.cz

Verze z 14. 8. 2022, 14:52

V matematice se pojem kardinální číslo, někdy též kardinál, pojí s čísly používanými pro popis velikosti množin. Jelikož se matematika zabývá i nekonečnými objekty, kardinální čísla a mohutnosti množin popisují i nekonečné množiny.

Historie

Kardinální čísla byla popsána Georgem Cantorem, když se v letech 1874 až 1884 pokoušel zavést teorii množin, která se dnes nazývá naivní. Nejdříve zavedl kardinalitu jako nástroj pro porovnávání konečných množin. Například množiny {1,2,3} a {2,3,4} si nejsou rovny, ale mají stejnou kardinalitu. Dále Cantor zavedl bijekci, pomocí které lze jednoduše ukázat, zda dvě konečné množiny mají stejnou kardinalitu. Použitím bijekce aplikoval svou myšlenku i na nekonečné množiny, například na přirozená čísla. Zavedl i pojem spočetná množina pro každou množinu, která má stejnou kardinalitu jako množina přirozených čísel. Kardinál spočetných množin pojmenoval \(\aleph_0\) (aleph 0). Cantora zajímalo, zda každá nekonečná množina je spočetná. Pomocí takzvané diagonální metody dokázal, že tomu tak není a popsal nový kardinál, kardinál kontinua, dnes běžně značený c. Ukázal, že existuje nejmenší nekonečné kardinální číslo (\(\aleph_0\)) a též že pro každé kardinální číslo existuje kardinální číslo, které je větší (\(\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots\)). Později vyslovil tvrzení známé jako hypotéza kontinua. To říká, že c = \(\aleph_1\). Ukázalo se, že jeho platnost je nezávislá na standardních axiomech teorie množin, a proto nemůže být na základě nich dokázáno ani vyvráceno.

Definice

Ordinální číslo \( \alpha \,\! \) nazveme kardinálním číslem (nebo kardinálem), pokud každé menší ordinální číslo \( \beta < \alpha \,\! \) má i menší mohutnost (tj. \( \alpha \,\! \) nelze vzájemně jednoznačně zobrazit na žádnou podmnožinu \( \beta \,\! \)). Označíme-li jako \( Cn \,\! \) třídu všech kardinálních čísel a \( On \,\! \) třídu všech ordinálních čísel, můžeme zapsat tuto definici ve tvaru: \( \alpha \isin Cn \Leftrightarrow ( \forall \beta) (\beta < \alpha \implies \neg (\beta \approx \alpha)) \) Kardinální čísla jsou obvykle značena písmeny ze středu řecké alfabety \( \kappa, \lambda, \mu \,\! \), aby se odlišila od ordinálních čísel, pro která jsou používána písmena ze začátku alfabety: \( \alpha, \beta, \gamma \,\! \)

Vztah kardinálních čísel k mohutnosti

Kardinální čísla jsou vhodnými kandidáty k reprezentování jednotlivých tříd ekvivalence podle relace \( \approx \,\! \) (viz článek mohutnost).
Je-li \( x \,\! \) množina, kterou lze vzájemně jednoznačně zobrazit na kardinál \( \lambda \,\! \), říkáme, že \( \lambda \,\! \) je mohutnost množiny \( x \,\! \) a píšeme \( |x| = \lambda \,\! \). Otázka, které množiny lze vzájemně jednoznačně zobrazit na nějaký kardinál, není úplně jednoduchá:

1. každé ordinální číslo lze zobrazit na nějaký kardinál
2. dobře uspořádanou množinu lze izomorfně zobrazit na nějaký ordinál a ten pak vzájmeně jednoznačně na nějaký kardinál – to znamená, že dobře uspořádanou množinu lze zobrazit vzájemně jednoznačně na nějaký kardinál
3. pokud přijmu axiom výběru, pak z principu dobrého uspořádání plyne, že každou množinu lze dobře uspořádat – a tím i zobrazit na nějaký kardinál.
4. pokud nepřijmu axiom výběru nebo nějakou jeho obdobu, mám bohužel smůlu a v mém světě množin mohou existovat jedinci, pro které nelze mohutnost definovat výše uvedeným způsobem

Vlastnosti a příklady kardinálních čísel

1. Přirozená čísla (tj. konečná ordinální čísla) jsou zároveň kardinálními čísly.
2. Množina \( \omega \,\! \) všech přirozených čísel je první nekonečný kardinál a zároveň jediný spočetný kardinál. Pokud existují nějaké další kardinály, jsou již nespočetné. A ony existují:
3. Ke každému kardinálu existuje větší kardinál.
4. Třída \( Cn \,\! \) všech kardinálů je vlastní třída izomorfní s třídou \( On \,\! \) všech ordinálů – kardinály lze tedy očíslovat ordinálními čísly tak, aby žádný nechyběl a žádný nepřebýval.

Která konkrétní nekonečná ordinální čísla jsou tedy zároveň kardinály, když jich existuje tolik? Prvním z nich je, jak již víme, \( \omega \,\! \). Pokusme se najít nějaký další:

• ordinální čísla \( \omega + 1, \omega + 2, \omega + 3, \ldots \,\! \) jsou spočetná – nejsou to tedy kardinály, protože mají stejnou mohutnost, jako menší ordinál \( \omega \,\! \)
• ordinální čísla \( \omega + \omega = \omega.2, \omega.3, \omega.4, \ldots \,\! \) jsou stále spočetná
• ordinální čísla \( \omega . \omega = \omega^2, \omega^3, \omega^4, \ldots \,\! \) jsou stále spočetná
• ordinální čísla \( \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}, \ldots \,\! \) jsou stále spočetná
• dokonce i supremum předchozí posloupnosti (označované někdy jako \( \epsilon_0 \,\! \)) je stále spočetné

Jak je vidět, za \( \omega \,\! \) následuje ve třídě ordinálních čísel veliké hluché místo, ve kterém není žádný kardinál – pokud se budeme snažit postupovat třídou ordinálních čísel nahoru pomocí operací ordinální aritmetiky jako v předchozím příkladu, zůstávají další kardinály kdesi daleko za obzorem.

Funkce alef

Obdobné tvrzení, jako číslo 4 v odstavci Vlastnosti a příklady kardinálních čísel, platí i pro třídu všech nekonečných kardinálů \( Cn - \omega \,\! \) – také existuje izomorfismus mezi ní a \( On \,\! \).
Tato izomorfní funkce je obvykle nazývána prvním písmenem hebrejské abecedy – alef, a značena \( \aleph \,\! \).

• \( \aleph_0 = \omega \) je nejmenší nekonečný kardinál – množina přirozených čísel
• \( \aleph_1 \) je nejmenší nespočetný kardinál
• pro každý ordinál \( \alpha \,\! \) existuje kardinál \( \aleph_{\alpha} \), má tedy dobrý smysl ptát se, jak asi vypadají kardinály \( \aleph_2, \aleph_3, \aleph_{\omega}, \aleph_ {\omega^{\omega} + \omega.5 + 127} \)

Dá se ukázat, že funkce \( \aleph \,\! \) je normální funkce (tj. rostoucí a spojitá pro limitní ordinály) na ordinálních číslech. Lze dokázat, že každá taková funkce má ve třídě \( On \,\! \) nekonečně mnoho pevných bodů (tyto pevné body dokonce tvoří vlastní třídu izomorfní s \( On \,\! \). Aplikováno konkrétně na funkci \( \aleph \,\! \): existuje obrovské (ve smyslu „hodně, ale opravdu hodně nekonečné“) množství ordinálů \( \alpha \,\! \), pro které platí, že \( \alpha = \aleph_\alpha \). Pokud si toto dáme dohromady s výsledkem našeho hledání \( \aleph_1 \,\! \) v předchozím oddílu, vidíme, že funkce \( \aleph \,\! \) má opravdu podivné vlastnosti:

• na jedné straně hrozně rychle roste (už její druhá hodnota – \( \aleph_1 \,\! \) je hodně daleko od její první hodnoty \( \aleph_0 \,\! \))
• na druhé straně asi někde musí hodně přibrzdit, protože existují místa (libovolně velké ordinály), kde úplně ztratí náskok před „nejpomaleji rostoucí“ identickou funkcí \( Id: Id(\alpha) = \alpha \,\!\) – v takovýchto pevných bodech platí \( \aleph_{\alpha} = Id(\alpha) = \alpha \,\! \)

Kardinální aritmetika

Na třídě kardinálních čísel lze definovat stejně jako na třídě ordinálních čísel běžné aritmetické operace součtu, součinu a mocniny – rozdíl spočívá v tom, že zatímco u ordinálních operací hovořím o „typu dobrého uspořádání“ výsledné množiny, u kardinálních operací mě zajímá mohutnost výsledné množiny. Vlastnostmi těchto operací se zabývá samostatný článek kardinální aritmetika

Související články

• Kardinální aritmetika
• Ordinální číslo
• Ordinální aritmetika
• Mohutnost
• Singulární kardinál
• Regulární kardinál
• Kofinál
• Hypotéza kontinua
• Zobecněná hypotéza kontinua
• Hypotéza singulárních kardinálů