Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
Okruh (algebra)
Z Multimediaexpo.cz
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
| Řádka 3: | Řádka 3: | ||
== Definice okruhu == | == Definice okruhu == | ||
| - | [[Struktura (logika)|Strukturu]] <big>\(R</ | + | [[Struktura (logika)|Strukturu]] <big>\(R\)</big> s nosičem ''R'' a dvěma binárními operacemi '''+''' ([[sčítání]]) a '''·''' ([[násobení]]) na ''R'' nazýváme '''okruh''', platí-li pro všechny prvky ''R'' ''x'', ''y'', ''z'' následující [[axiom]]y: |
# [[Uzavřená množina vůči operaci|Uzavřenost]] obou operací: ''x'' + ''y'' i ''x'' '''·''' ''y'' jsou prvky ''R''. | # [[Uzavřená množina vůči operaci|Uzavřenost]] obou operací: ''x'' + ''y'' i ''x'' '''·''' ''y'' jsou prvky ''R''. | ||
| Řádka 24: | Řádka 24: | ||
== Příklady okruhů == | == Příklady okruhů == | ||
| - | * Obor [[Celé číslo|celých čísel]] <big>\(\scriptstyle \mathbb{Z}</ | + | * Obor [[Celé číslo|celých čísel]] <big>\(\scriptstyle \mathbb{Z}\)</big> |
| - | * [[Lineární zobrazení]] na <big>\(\scriptstyle \mathbb{R}^n</ | + | * [[Lineární zobrazení]] na <big>\(\scriptstyle \mathbb{R}^n\)</big> s operací [[sčítání]] a [[Skládání zobrazení|skládání]] tvoří okruh. Obecná [[Zobrazení (matematika)|zobrazení]] však okruh netvoří, neboť není splněn předpoklad distributivity skládání. |
* [[Triviální okruh]] ''R'' = {0}. Jedná se o jediný okruh takový, že 0 = 1. | * [[Triviální okruh]] ''R'' = {0}. Jedná se o jediný okruh takový, že 0 = 1. | ||
Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53
Okruh je v matematice algebraická struktura s dvěma binárními operacemi běžně nazývanými sčítání a násobení. Přitom sčítání splňuje axiomy Abelových grup a násobení axiomy monoidu. Typickým příkladem okruhu je množina celých čísel s běžně známými operacemi sčítání a násobení.
Obsah |
Definice okruhu
Strukturu \(R\) s nosičem R a dvěma binárními operacemi + (sčítání) a · (násobení) na R nazýváme okruh, platí-li pro všechny prvky R x, y, z následující axiomy:
- Uzavřenost obou operací: x + y i x · y jsou prvky R.
- Asociativita sčítání i násobení: (x + y) + z = x + (y + z), (x · y) · z = x · (y · z).
- Existence nulového prvku 0.
- Existence opačného prvku: pro každé x z R existuje y z R tak, že x + y = 0 = y + x, značíme y = −x.
- Komutativita sčítání: x + y = y + x.
- (Oboustranná) distributivita násobení ke sčítání: x · ( y + z) = (x · y) + (x · z), ( y + z) · x = ( y · x) + (z · x).
Vlastnosti
Množina R s operací +, tj. (R, +), je tedy Abelova grupa. Množina R s operací ·, tj. (R, ·), je tedy pologrupa.
Pokud navíc existuje jednotkový prvek (neutrální při násobení), jedná se o unitární okruh (nebo také okruh s jednotkovým prvkem). Pokud navíc neexistují tzv. dělitelé nuly, jedná se o tzv. obor. Pokud je obor navíc komutativní, jedná se o obor integrity.
Pokud existují v unitárním okruhu převrácené prvky, nazýváme takový okruh těleso. Jeho nenulové prvky tvoří tedy s operací násobení grupu.
Příklady okruhů
- Obor celých čísel \(\scriptstyle \mathbb{Z}\)
- Lineární zobrazení na \(\scriptstyle \mathbb{R}^n\) s operací sčítání a skládání tvoří okruh. Obecná zobrazení však okruh netvoří, neboť není splněn předpoklad distributivity skládání.
- Triviální okruh R = {0}. Jedná se o jediný okruh takový, že 0 = 1.
Podokruh
S je neprázdná podmnožina okruhu (R, +, ·) je podokruh (S, +, ·) okruhu R, právě když pro všechna a, b z S do něj patří a-b i a·b.
Související články
Externí odkazy
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |