Asociativita
Z Multimediaexpo.cz
Asociativita je v algebře vlastnost binární operace, spočívající v tom, že nezáleží, jak použijeme závorky u výrazu, kde je více operandů, v jakém pořadí budeme tedy tento výraz počítat.
Obsah |
Definice
Binární operace * je na množině S asociativní, jestliže platí
- (x * y) * z = x * (y * z)
pro každé x, y a z v S.
Příklady
Nejznámější příklady asociativních binárních operací jsou sčítání (a + b) a násobení (a . b) reálných čísel.
- (2 + 3) + 8 = 5 + 8 = 13 = 2 + 11 = 2 + (3 + 8)
- (7.3).2 = 21.2 = 42 = 7.6 = 7.(3.2)
Další ukázky asociativních binárních operací jsou například: sčítání a násobení komplexních čísel, sčítání vektorů, průnik a sjednocení množin, operace maximum a minimum.
Mezi binární operace, které nejsou asociativní, patří například odčítání (a − b), dělení (a : b) a umocňování (ab) čísel nebo vektorové násobení vektorů.
- \( 2 - (3 - 1) = 0 \quad\neq\quad -2 = (2 - 3) - 1 \).
- \(2^{(2^3)} = 2^8 = 256 \quad\neq\quad 64 = 4^3 = (2^2)^3\)
U neasociativních operací je tedy třeba buď důsledně závorkovat, nebo se dohodnout na implicitním pořadí provádění operací – pak se někdy mluví o operacích asociativních zleva či asociativních zprava. Z předvedených příkladů je odčítání levě asociativní, výraz 10 − 5 − 3 se chápe jako (10 − 5) − 3, naopak umocňování je asociativní zprava, \(2^{3^4} = 2^{\left(3^4\right)}\) (neboť levá asociativita by u mocnění byla neužitečná – stejného výsledku lze díky pravidlům pro mocniny zapsat pomocí součinu exponentů: \((2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4}\)).
| Struktury s jednou binární operací | |||
|---|---|---|---|
| Asociativita | Neutrální prvek | Inverzní prvek | |
| Grupa |  | |
|
| Monoid | | | 
|
| Pologrupa | | |
|
| Lupa | | |
|
| Kvazigrupa | | |
|
| Grupoid | | |
|
Vlastnosti
Asociativita operace je důležitá, protože umožňuje nepoužívat závorky a např. zavedení mocnin s přirozeným mocnitelem.
Související články
Externí odkazy
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |