Per partes

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Integrace per partes (integrace po částech) se používá pro integrování součinu funkcí. Tato metoda je založena na větě o derivaci součinu:

\((uv)^\prime =u^\prime v+uv^\prime\)

Uplatníme-li tuto větu na podmínky pro integrál, dostáváme následující vzorce:

\(\int(uv)'\,\mathrm{d}x = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x\)

\(uv = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x\)

Úpravou druhé rovnice dostáváme metodu integrace označovanou jako per partes:

\(\int(uv')\,\mathrm{d}x = uv - \int(u'v)\,\mathrm{d}x\)

Druhý vztah získáme pouhou záměnou \(u \leftrightarrow v\).

Vztah pro integraci po částech bývá také vyjadřován pomocí diferenciálu jako

\(\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u\)

Metoda per partes je vhodná pro integrování součinu funkcí. Při hledání integrálu lze metodu per partes použít opakovaně.

Příklady

\(\int(x\cdot\cos x)\,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x - \int \sin x \,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x + \cos x + C\), kde bylo použito \(u = x, v^\prime = \cos x\)
Pro nalezení \(\int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x\) položíme \(u = x^2, v^\prime = \sin x\), takže dostaneme \(\int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x = - x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \mathrm{d}x\). Pro řešení získaného integrálu použijeme opět metodu per partes, přičemž položíme \(u = x, v^\prime = \cos x\), tzn. \(\int x \cos x \mathrm{d}x = x \sin x - \int \sin x \mathrm{d}x = x \sin x + \cos x\). Dosazením pak získáme konečný výsledek \(\int x^2 \sin x \mathrm{d}x = -x^2 \cos x + 2(x \sin x + \cos x) + C\)

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
 '''Integrace per partes''' ('''integrace po částech''') se používá pro [[integrál|integrování]] [[součin]]u [[funkce (matematika)|funkcí]]. Tato metoda je založena na větě o [[derivace|derivaci]] součinu:
-:<big>\((uv)^\prime =u^\prime v+uv^\prime</math>
+:<big>\((uv)^\prime =u^\prime v+uv^\prime\)</big>
 Uplatníme-li tuto větu na podmínky pro integrál, dostáváme následující vzorce:
-:<big>\(\int(uv)'\,\mathrm{d}x = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x</math>
+:<big>\(\int(uv)'\,\mathrm{d}x = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x\)</big>
-:<big>\(uv = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x</math>
+:<big>\(uv = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x\)</big>
 Úpravou druhé rovnice dostáváme metodu integrace označovanou jako '''per partes''':
-:<big>\(\int(uv')\,\mathrm{d}x = uv - \int(u'v)\,\mathrm{d}x</math>
+:<big>\(\int(uv')\,\mathrm{d}x = uv - \int(u'v)\,\mathrm{d}x\)</big>
-Druhý vztah získáme pouhou záměnou <big>\(u \leftrightarrow v</math>.
+Druhý vztah získáme pouhou záměnou <big>\(u \leftrightarrow v\)</big>.
 Vztah pro integraci po částech bývá také vyjadřován pomocí [[Diferenciál (matematika)|diferenciálu]] jako
-:<big>\(\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u</math>
+:<big>\(\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u\)</big>
 Metoda ''per partes'' je vhodná pro integrování součinu funkcí. Při hledání integrálu lze metodu per partes použít opakovaně.
 == Příklady ==
-* <big>\(\int(x\cdot\cos x)\,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x - \int \sin x \,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x + \cos x + C</math>, kde bylo použito <big>\(u = x,  v^\prime = \cos x</math>
+* <big>\(\int(x\cdot\cos x)\,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x - \int \sin x \,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x + \cos x + C\)</big>, kde bylo použito <big>\(u = x,  v^\prime = \cos x\)</big>
-* Pro nalezení <big>\(\int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x</math> položíme <big>\(u = x^2, v^\prime = \sin x</math>, takže dostaneme <big>\(\int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x = - x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \mathrm{d}x</math>. Pro řešení získaného integrálu použijeme opět metodu per partes, přičemž položíme <big>\(u = x, v^\prime = \cos x</math>, tzn. <big>\(\int x \cos x \mathrm{d}x = x \sin x - \int \sin x \mathrm{d}x = x \sin x + \cos x</math>. Dosazením pak získáme konečný výsledek <big>\(\int x^2 \sin x \mathrm{d}x = -x^2 \cos x + 2(x \sin x + \cos x) + C</math>
+* Pro nalezení <big>\(\int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x\)</big> položíme <big>\(u = x^2, v^\prime = \sin x\)</big>, takže dostaneme <big>\(\int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x = - x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \mathrm{d}x\)</big>. Pro řešení získaného integrálu použijeme opět metodu per partes, přičemž položíme <big>\(u = x, v^\prime = \cos x\)</big>, tzn. <big>\(\int x \cos x \mathrm{d}x = x \sin x - \int \sin x \mathrm{d}x = x \sin x + \cos x\)</big>. Dosazením pak získáme konečný výsledek <big>\(\int x^2 \sin x \mathrm{d}x = -x^2 \cos x + 2(x \sin x + \cos x) + C\)</big>
 == Související články ==