Per partes

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Nejsou zobrazeny 2 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Per partes|700}}
+
'''Integrace per partes''' ('''integrace po částech''') se používá pro [[integrál|integrování]] [[součin]]u [[funkce (matematika)|funkcí]]. Tato metoda je založena na větě o [[derivace|derivaci]] součinu:
 +
:<big>\((uv)^\prime =u^\prime v+uv^\prime\)</big>
 +
Uplatníme-li tuto větu na podmínky pro integrál, dostáváme následující vzorce:
 +
:<big>\(\int(uv)'\,\mathrm{d}x = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x\)</big>
 +
:<big>\(uv = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x\)</big>
 +
 +
Úpravou druhé rovnice dostáváme metodu integrace označovanou jako '''per partes''':
 +
:<big>\(\int(uv')\,\mathrm{d}x = uv - \int(u'v)\,\mathrm{d}x\)</big>
 +
Druhý vztah získáme pouhou záměnou <big>\(u \leftrightarrow v\)</big>.
 +
 +
Vztah pro integraci po částech bývá také vyjadřován pomocí [[Diferenciál (matematika)|diferenciálu]] jako
 +
:<big>\(\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u\)</big>
 +
 +
Metoda ''per partes'' je vhodná pro integrování součinu funkcí. Při hledání integrálu lze metodu per partes použít opakovaně.
 +
 +
== Příklady ==
 +
* <big>\(\int(x\cdot\cos x)\,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x - \int \sin x \,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x + \cos x + C\)</big>, kde bylo použito <big>\(u = x,  v^\prime = \cos x\)</big>
 +
* Pro nalezení <big>\(\int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x\)</big> položíme <big>\(u = x^2, v^\prime = \sin x\)</big>, takže dostaneme <big>\(\int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x = - x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \mathrm{d}x\)</big>. Pro řešení získaného integrálu použijeme opět metodu per partes, přičemž položíme <big>\(u = x, v^\prime = \cos x\)</big>, tzn. <big>\(\int x \cos x \mathrm{d}x = x \sin x - \int \sin x \mathrm{d}x = x \sin x + \cos x\)</big>. Dosazením pak získáme konečný výsledek <big>\(\int x^2 \sin x \mathrm{d}x = -x^2 \cos x + 2(x \sin x + \cos x) + C\)</big>
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Integrál]]
 +
* [[Derivace]]
 +
* [[Substituční metoda]]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Integrální počet]]
[[Kategorie:Integrální počet]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Integrace per partes (integrace po částech) se používá pro integrování součinu funkcí. Tato metoda je založena na větě o derivaci součinu:

\((uv)^\prime =u^\prime v+uv^\prime\)

Uplatníme-li tuto větu na podmínky pro integrál, dostáváme následující vzorce:

\(\int(uv)'\,\mathrm{d}x = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x\)
\(uv = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x\)

Úpravou druhé rovnice dostáváme metodu integrace označovanou jako per partes:

\(\int(uv')\,\mathrm{d}x = uv - \int(u'v)\,\mathrm{d}x\)

Druhý vztah získáme pouhou záměnou \(u \leftrightarrow v\).

Vztah pro integraci po částech bývá také vyjadřován pomocí diferenciálu jako

\(\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u\)

Metoda per partes je vhodná pro integrování součinu funkcí. Při hledání integrálu lze metodu per partes použít opakovaně.

Příklady

  • \(\int(x\cdot\cos x)\,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x - \int \sin x \,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x + \cos x + C\), kde bylo použito \(u = x, v^\prime = \cos x\)
  • Pro nalezení \(\int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x\) položíme \(u = x^2, v^\prime = \sin x\), takže dostaneme \(\int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x = - x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \mathrm{d}x\). Pro řešení získaného integrálu použijeme opět metodu per partes, přičemž položíme \(u = x, v^\prime = \cos x\), tzn. \(\int x \cos x \mathrm{d}x = x \sin x - \int \sin x \mathrm{d}x = x \sin x + \cos x\). Dosazením pak získáme konečný výsledek \(\int x^2 \sin x \mathrm{d}x = -x^2 \cos x + 2(x \sin x + \cos x) + C\)

Související články


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Per_partes“