Tečna

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Tečna funkce.

Tečna kružnice.

Tečna je přímka, která má s křivkou společný jeden bod dotyku. Na rozdíl od průsečíku leží všechny okolní body křivky ve stejné polorovině určené přímkou. Pokud je křivka grafem nějaké funkce, pak první derivace funkce je směrnicí tečny. Nejznámější křivkou je kružnice, pro kterou platí: každým bodem ležícím vně kružnice lze vést dvě tečny ke kružnici. Protože každá tečna je kolmá k poloměru kružnice, používáme pro její sestrojení Thaletovu kružnici.

Tečný vektor

Tečna křivky, jejíž body jsou určeny rádiusvektorem \(\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)\), která prochází bodem \(\mathbf{r}_0=[x_0,y_0,z_0]\) dané křivky, tedy bodem, v němž \(t=t_0\), má směr určený vektorem

\({\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right)}_0 = \left[{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}_0, {\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}_0, {\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}_0\right]\).

Tento vektor se nazývá tečným vektorem. Bod \(\mathbf{r}_0\) je tzv. dotykový (tečný) bod. Jednotkovým tečným vektorem \(\mathbf{t}\) se nazývá vektor jednotkový vektor ve směru tečny

\(\mathbf{t} = \frac{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}} = \left( \frac{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2+ {\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}^2}}, \frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2+ {\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}^2}}, \frac{\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2+ {\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}^2}}\right)\)

Pokud je parametrem křivky oblouk \(s\), pak platí

\(\mathbf{t} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}s}\)

Rovnice tečny

Jednotlivé složky jednotkového tečného vektoru \(\mathbf{t}\) představují směrové kosiny tečny v daném bodě křivky. Rovnici tečny ke křivce \(\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)\) v bodě \(\mathbf{r}_0\) lze zapsat jako

\(\frac{X-x_0}{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}_0} = \frac{Y-y_0}{{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}_0} = \frac{Z-z_0}{{\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}_0}\)

nebo ve vektorovém tvaru

\(\mathbf{R} = \mathbf{r}_0 + u{\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right)}_0\),

kde \(\mathbf{r}_0=[x_0,y_0,z_0]\) je bod dotyku tečny, \(\mathbf{R}=[X,Y,Z]\) jsou body tečné přímky, \(t\) je parametr křivky a \(u\) je parametr tečny.

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 4: / Řádka 4: @@
 Nejznámější křivkou je [[kružnice]], pro kterou platí: každým bodem ležícím vně kružnice lze vést dvě tečny ke kružnici. Protože každá tečna je [[Ortogonalita|kolmá]] k [[poloměr]]u kružnice, používáme pro její sestrojení [[Thaletova kružnice|Thaletovu kružnici]].
 == Tečný vektor ==
-Tečna křivky, jejíž body jsou určeny [[rádiusvektor]]em <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)</math>, která prochází bodem <math>\mathbf{r}_0=[x_0,y_0,z_0]</math> dané křivky, tedy bodem, v němž <math>t=t_0</math>, má směr určený [[vektor]]em
+Tečna křivky, jejíž body jsou určeny [[rádiusvektor]]em <big>\(\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)\)</big>, která prochází bodem <big>\(\mathbf{r}_0=[x_0,y_0,z_0]\)</big> dané křivky, tedy bodem, v němž <big>\(t=t_0\)</big>, má směr určený [[vektor]]em
-:<math>{\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right)}_0 = \left[{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}_0, {\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}_0, {\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}_0\right]</math>.
+:<big>\({\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right)}_0 = \left[{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}_0, {\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}_0, {\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}_0\right]\)</big>.
-Tento vektor se nazývá '''tečným vektorem'''. Bod <math>\mathbf{r}_0</math> je tzv. ''dotykový (tečný) bod''.
+Tento vektor se nazývá '''tečným vektorem'''. Bod <big>\(\mathbf{r}_0\)</big> je tzv. ''dotykový (tečný) bod''.
-''Jednotkovým tečným vektorem'' <math>\mathbf{t}</math> se nazývá vektor [[jednotkový vektor]] ve směru tečny
+''Jednotkovým tečným vektorem'' <big>\(\mathbf{t}\)</big> se nazývá vektor [[jednotkový vektor]] ve směru tečny
-:<math>\mathbf{t} = \frac{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}} = \left( \frac{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2+ {\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}^2}}, \frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2+ {\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}^2}}, \frac{\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2+ {\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}^2}}\right)</math>
+:<big>\(\mathbf{t} = \frac{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}} = \left( \frac{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2+ {\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}^2}}, \frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2+ {\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}^2}}, \frac{\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2+ {\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}^2}}\right)\)</big>
-Pokud je parametrem křivky [[oblouk křivky|oblouk]] <math>s</math>, pak platí
+Pokud je parametrem křivky [[oblouk křivky|oblouk]] <big>\(s\)</big>, pak platí
-:<math>\mathbf{t} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}s}</math>
+:<big>\(\mathbf{t} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}s}\)</big>
 == Rovnice tečny ==
-Jednotlivé složky jednotkového tečného vektoru <math>\mathbf{t}</math> představují [[směrový kosinus|směrové kosiny]] tečny v daném bodě křivky.
+Jednotlivé složky jednotkového tečného vektoru <big>\(\mathbf{t}\)</big> představují [[směrový kosinus|směrové kosiny]] tečny v daném bodě křivky.
-Rovnici tečny ke křivce <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)</math> v bodě <math>\mathbf{r}_0</math> lze zapsat jako
+Rovnici tečny ke křivce <big>\(\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)\)</big> v bodě <big>\(\mathbf{r}_0\)</big> lze zapsat jako
-:<math>\frac{X-x_0}{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}_0} = \frac{Y-y_0}{{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}_0} = \frac{Z-z_0}{{\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}_0}</math>
+:<big>\(\frac{X-x_0}{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}_0} = \frac{Y-y_0}{{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}_0} = \frac{Z-z_0}{{\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}_0}\)</big>
 nebo ve [[vektor|vektorovém]] tvaru
-:<math>\mathbf{R} = \mathbf{r}_0 + u{\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right)}_0</math>,
+:<big>\(\mathbf{R} = \mathbf{r}_0 + u{\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right)}_0\)</big>,
-kde <math>\mathbf{r}_0=[x_0,y_0,z_0]</math> je bod dotyku tečny, <math>\mathbf{R}=[X,Y,Z]</math> jsou body tečné přímky, <math>t</math> je parametr křivky a <math>u</math> je parametr tečny.
+kde <big>\(\mathbf{r}_0=[x_0,y_0,z_0]\)</big> je bod dotyku tečny, <big>\(\mathbf{R}=[X,Y,Z]\)</big> jsou body tečné přímky, <big>\(t\)</big> je parametr křivky a <big>\(u\)</big> je parametr tečny.
 == Související články ==
 * [[Průvodní trojhran]]