Trigonometrie

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:54

Trigonometrie (z řeckého trigónon, trojúhelník a metrein, měřit) je oblast goniometrie zabývající se užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících. Trigonometrie se dělí na trigonometrii rovinnou a na trigonometrii sférickou (trigonometrie útvarů na kulové ploše). Trigonometrie má základní význam při triangulaci, která se používá k měření vzdáleností mezi dvěma hvězdami, v geodézii k měření vzdálenosti dvou bodů a v satelitních navigačních systémech. V angličtině se trigonometrie a goniometrie souhrnně označuje jako trigonometry.

Historie trigonometrie

Leonhard Euler, zakladatel moderní trigonometrie

První poznatky z trigonometrie lze prokázat již u Egypťanů. Podobné znalosti měli také Babyloňané a Chaldejci, od kterých převzali Řekové dnešní dělení plného úhlu na 360° a stupně na 60 minut. První práce o trigonometrii souvisely s problémem určení délky tětivy vzhledem k velikosti úhlu. První tabulky délek tětiv pocházejí od řeckého matematika Hipparcha z roku 140 př. n. l., další tabulky sepsal zhruba o 40 let později Melenaus, řecký matematik žijící v Římě. Práce starořeckých vědců vyvrcholila Ptolemaiovým dílem Megale syntaxis (Velká soustava), v níž Klaudios Ptolemaios vypočítal tabulku délek tětiv kružnice, jež měla poloměr až 60 délkových jednotek a kde středový úhel, k němuž se délky vztahovaly, postupoval po 0,5°.

Od 5. století začali pak trigonometrii budovat Indové, od kterých pochází dnešní název pro sinus, a po nich vědci Střední Asie a Arabové. Z Indů se trigonometrii nejvíce věnoval Brahmagupta (7. století), z vědců Střední Asie a Arábie je pak třeba vzpomenout syrského astronoma al-Battáního.

Evropa se s trigonometrií seznámila díky západním Arabům. K rozvoji trigonometrie významně přispěl polský astronom Mikuláš Koperník, stejně tak i francouzský matematik François Viète, který představil kosinovou větu v trigonometrické podobě. Dnešní podobu trigonometrie jakožto vědu o goniometrických funkcích ve svém díle Introductio in analysin infinitorum (Úvod do analýzy) vytvořil Leonhard Euler (1707–1783). Poprvé zkoumal hodnoty sin x, cos x jako čísla, nikoli jako úsečky, a jako hodnoty proměnné připouštěl kladná i záporná čísla.

Trigonometrické věty a vzorce

Sinová věta: Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}\).

Kosinová věta: Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

\(a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\)

Tangentová věta: Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{\mathrm{tg}\, \frac{\alpha -\beta }{2}}{\mathrm{tg}\, \frac{\alpha +\beta }{2}}=\frac{\mathrm{tg}\, \frac{\alpha -\beta }{2}}{\mathrm{cotg}\, \frac{\gamma }{2}}\)

Pro obsah každého trojúhelníku ABC s vnitřními úhly α, β, γ a se stranami a, b, c platí:

\(S=\frac{1}{2}ab\,\sin(\gamma)=\frac{1}{2}ac\,\sin(\beta)=\frac{1}{2}bc\,\sin(\alpha)\)

Pro poloměr r kružnice opsané trojúhelníku ABC platí:

\(r=\frac{a}{2\sin \alpha}=\frac{b}{2\sin \beta}=\frac{c}{2\sin \gamma}\)

Související články

Externí odkazy

Učebnice goniometrie a trigonometrie
Historie trigonometrie
Sférická trigonometrie v kartografii a astronomii - ve formátu DOC (244 kB)

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Trigonometrie

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 12: / Řádka 12: @@
 == Trigonometrické věty a vzorce ==
 * [[Sinová věta]]: Pro každý [[trojúhelník]] ABC s&nbsp;vnitřními [[úhel|úhly]] α, β, γ a stranami ''a'', ''b'', ''c'' platí:
-: <math>\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}</math>.
+: <big>\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}\)</big>.
 * [[Kosinová věta]]: Pro každý [[trojúhelník]] ABC s&nbsp;vnitřními [[úhel|úhly]] α, β, γ a stranami ''a'', ''b'', ''c'' platí:
-: <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha</math>
+: <big>\(a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\)</big>
 * [[Tangentová věta]]: Pro každý [[trojúhelník]] ABC s&nbsp;vnitřními [[úhel|úhly]] α, β, γ a stranami ''a'', ''b'', ''c'' platí:
-: <math>\frac{a-b}{a+b}=\frac{\mathrm{tg}\, \frac{\alpha -\beta }{2}}{\mathrm{tg}\, \frac{\alpha +\beta }{2}}=\frac{\mathrm{tg}\, \frac{\alpha -\beta }{2}}{\mathrm{cotg}\, \frac{\gamma }{2}}</math>
+: <big>\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{\mathrm{tg}\, \frac{\alpha -\beta }{2}}{\mathrm{tg}\, \frac{\alpha +\beta }{2}}=\frac{\mathrm{tg}\, \frac{\alpha -\beta }{2}}{\mathrm{cotg}\, \frac{\gamma }{2}}\)</big>
 * Pro obsah každého [[trojúhelník]]u ABC s vnitřními úhly α, β, γ a se stranami ''a'', ''b'', ''c'' platí:
-: <math>S=\frac{1}{2}ab\,\sin(\gamma)=\frac{1}{2}ac\,\sin(\beta)=\frac{1}{2}bc\,\sin(\alpha)</math>
+: <big>\(S=\frac{1}{2}ab\,\sin(\gamma)=\frac{1}{2}ac\,\sin(\beta)=\frac{1}{2}bc\,\sin(\alpha)\)</big>
 * Pro poloměr ''r'' [[kružnice opsaná|kružnice opsané]] [[trojúhelník]]u ABC platí:
-: <math>r=\frac{a}{2\sin \alpha}=\frac{b}{2\sin \beta}=\frac{c}{2\sin \gamma}</math>
+: <big>\(r=\frac{a}{2\sin \alpha}=\frac{b}{2\sin \beta}=\frac{c}{2\sin \gamma}\)</big>
 == Související články ==