Trisekce úhlu

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:54

Trisekce úhlu je jeden ze tří nejslavnějších antických konstrukčních problémů (zbylé dva jsou kvadratura kruhu a duplikace krychle; souhrnně jsou nazývány Tři klasické problémy antické matematiky). Tyto úlohy byly formulovány již v 5. století př. n. l. a odolávaly po dlouhá staletí všem pokusům o vyřešení, než bylo v 19. století dokázáno, že jsou neřešitelné.

Obsah

1 Přesné zadání úlohy
2 Historie
3 Důkaz neřešitelnosti
- 3.1 Konstruovatelné úhly
- 3.2 Úhel 20° (π/9) není konstruovatelný
4 Související články

Přesné zadání úlohy

Obecné zadání úlohy trisekce úhlu zní v jazyce moderní matematiky takto:

Nalezněte obecnou euklidovskou konstrukci, pomocí níž bude k libovolnému úhlu možné zkonstruovat úhel o třetinové velikosti.

Poněkud méně formálně:

Rozdělte daný úhel na tři stejně velké části pouze za užití pravítka a kružítka.

Historie

Již ve starověku a po celý středověk a renesanci se největší učenci své doby pokoušeli problém trisekce úhlu vyřešit. Až v roce 1830 dokázal mladý francouzský matematik Évariste Galois, že úlohu trisekce úhlu nelze pouze za použití pravítka a kružítka provést.

Důkaz neřešitelnosti

Důkaz nemožnosti provést požadovanou konstrukci sestává ze dvou nezávislých částí, z nichž první je obdobná pro důkazy neřešitelnosti všech tří klasických problémů:

ověření, že lze zkonstruovat jen ty úhly, jejichž sinus i kosinus jsou algebraická čísla stupně (nad tělesem racionálních čísel) mocniny dvou
nalezení úhlu, jehož kosinus není algebraické číslo stupně mocniny dvou, a jehož trojnásobek lze zkonstruovat

Tyto dva kroky nyní provedeme odděleně.

Konstruovatelné úhly

Za konstruovatelnou délku (resp. úhel, souřadnici) označíme takovou délku (resp. úhel, souřadnici), kterou lze zkonstruovat z dané jednotkové úsečky a daného počátku pouze pomocí pravítka a kružítka. Velmi snadno ověříme, že každá racionální délka (souřadnice) je konstruovatelná. Indukcí podle počtu kroků nejkratší konstrukce ověříme, že každá konstruovatelná souřadnice (jak x-ová, tak y-ová) je algebraické číslo stupně mocniny dvou. Nechť je tedy dána konstruovatelná souřadnice s a nechť

její nejkratší konstrukce (přesněji konstrukce bodu majícího tuto souřadnici) má 0 kroků
- Pak s může být pouze souřadnice koncového bodu jednotkové úsečky nebo počátku (tj. s=1 nebo s=0), což je v obou případech algebraické číslo stupně 1=2⁰.
její nejkratší konstrukce má n+1 kroků, přičemž víme, že všechny souřadnice, které lze zkonstruovat v méně než n+1 krocích, jsou algebraické stupně mocniny dvou
- Proveďme nyní prvních n kroků oné n+1 krokové konstrukce souřadnice s. Označme T těleso generované všemi dosud zkonstruovanými souřadnicemi a jeho stupeň nad tělesem Q všech racionálních čísel (délek) označme [T:Q]. Protože T vzniklo postupným rozšiřováním Q o souřadnice konstruované v prvních n krocích, je [T:Q] mocnina dvou (snadnou aplikací indukčního předpokladu). Dále určíme stupeň [T[s]:T], kde T[s] je těleso generované prvky T a souřadnicí s. Víme (z definice T), že souřadnici s lze zkonstruovat v jediném kroku ze souřadnic obsažených v tělese T. Souřadnice s tedy může být souřadnicí bodu,
  - který již byl zkonstruován v prvních n krocích
    - Pak s je prvkem T a tedy [T[s]:T]=1.
  - který vznikl protnutím dvou úseček v (n+1)-ním kroku
    - Pak s je jednou ze složek řešení soustavy lineárních rovnic y=ax+b, y=cx+d, kde první a druhá rovnice popisují analyticky první a druhou z protínajících se úseček. Protože však krajní body těchto úseček byly zkonstruovány již v prvních n krocích, jsou jejich souřadnice a v důsledku i koeficienty a,b,c,d prvky T. Proto i obě složky řešení (x,y) jsou v T, a tedy opět [T[s]:T]=1.
  - který vznikl protnutím úsečky a kružnice v (n+1)-ním kroku
    - Pak s je jednou ze složek řešení lineárně kvadratické soustavy rovnic y=ax+b, (x-c)²+(y-d)²=r², kde první (resp. druhá) rovnice popisuje analyticky úsečku (resp. kružnici). Opět - obdobně jako v předchozím bodě - jsou a,b,c,d prvky T, a protože čtverec vzdálenosti každých dvou bodů se souřadnicemi z T leží rovněž v T, je i r² v T. Vyjádřením řešení (x,y) zjistíme, že obě jeho složky leží v tělese \(T[\sqrt{q}]\), kde q je vhodný prvek T. Protože zřejmě \([T[\sqrt{q}]:T]=1 \mbox{ nebo } 2\) a podle obecné teorie algebraických rozšíření dělí stupeň každého prvku rozšíření stupeň tohoto rozšíření, je nutně [T[s]:T]=1 nebo 2.
  - který vznikl protnutím dvou kružnic v (n+1)-ním kroku
    - Pak s je jednou ze složek řešení soustavy kvadratických rovnic (x-a)²+(y-b)²=r², (x-c)²+(y-d)²=t², kde první a druhá rovnicepopisují analyticky první a druhou z protínajících se kružnic. Opět jako v předchozích bodech jsou a,b,c,d,r,t prvky T. Opět vyjádřením řešení (x,y) zjistíme, že obě jeho složky leží v tělese \(T[\sqrt{q}]\), kde q je vhodný prvek T. Zcela stejně jako v předchozím bodě můžeme vidět, že [T[s]:T]=1 nebo 2.
- Ve všech čtyřech popisovaných případech je tedy [T[s]:T]=1 nebo 2. Protože z předchozího víme, že [T:Q] je mocnina dvou, plyne z obecného algebraického tvrzení o multiplikativitě stupňů rozšíření, že [T[s]:Q]=[T[s]:T][T:Q] je rovněž mocnina dvou. Dále stupeň s nad Q je roven [T[s]:Q], tedy je také mocninou dvou, čímž je indukční krok dokončen.

Dále zřejmě každá konstruovatelná délka je vzdáleností dvou bodů s konstruovatelnými souřadnicemi, a tedy její čtverec je prvkem tělesa generovaného konečně mnoha konstruovatelnými souřadnicemi. Proto čtverec konstruovatelné vzdálenosti má stupeň mocniny dvou nad Q. Opět z věty o multiplikativitě stupňů rozšíření plyne, že i daná vzdálenost má stupeň mocniny dvou nad Q.

Konečně, zkonstruujeme-li úhel velikosti α, můžeme snadno zkonstruovat úsečky délky sin(α) i cos(α). Proto plyne z předchozího, že konstruovatelné jsou jen ty úhly, jejichž sinus i kosinus jsou algebraická čísla stupně mocniny dvou.

Úhel 20° (π/9) není konstruovatelný

Nyní již zbývá ukázat pouze existenci úhlu splňujícího, že kosinus jeho třetiny má stupeň různý od mocniny dvou a jeho trojnásobek je konstruovatelný (pak totiž nebudeme muset předpokládat, že je dán úhel, který máme rozdělit, což nám v první části důkazu umožnilo zjednodušit si situaci předpokladem, že dány jsou jen počátek a jednotková úsečka). Takovým úhlem je například 60° (π/3). Z obecné trigonometrické identity cos(3α) = 4cos³(α) − 3cos(α) plyne dosazením α=20° (α=π/9) (označíme-li y=cos(20°)=cos(π/9)) 8y³ − 6y − 1 = 0, odkud substitucí x=2y dostaneme 4x³ − 3x − 1 = 0. Pokud nyní stupeň x splňujícího předchozí rovnost nebude mocninou dvou, nebude mocninou dvou ani stupeň y, což chceme dokázat. Snadno nahlédneme, že polynom t³ − 3t − 1 je ireducibilní (kdyby nebyl, pak má faktor stupně jedna, a tedy racionální kořen, podle věty o racionálních kořenech (je-li p/q kořenem polynomu P s celočíselnými koeficienty a p je nesoudělné s q, pak q dělí vedoucí koeficient P a p jeho absolutní člen) je tento kořen jedno z čísel 1,-1, což evidentně není pravda). Minimálním polynomem x je tedy samotný polynom t³ − 3t − 1, a tedy x má stupeň tři, což není mocnina dvou. Tím je důkaz dokončen.

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-{{Wikipedia-cs|Trisekce úhlu|700}}
+'''Trisekce úhlu''' je jeden ze tří nejslavnějších antických [[konstrukce (geometrie)|konstrukčních problémů]] (zbylé dva jsou [[kvadratura kruhu]] a [[duplikace krychle]]; souhrnně jsou nazývány ''[[Tři klasické problémy antické matematiky]]''). Tyto úlohy byly formulovány již v 5. století př. n. l. a odolávaly po dlouhá staletí všem pokusům o vyřešení, než bylo v&nbsp;19.&nbsp;století dokázáno, že jsou neřešitelné.
+== Přesné zadání úlohy ==
+Obecné zadání úlohy '''trisekce úhlu''' zní v jazyce moderní [[matematika|matematiky]] takto:
+''Nalezněte obecnou [[euklidovská konstrukce|euklidovskou konstrukci]], pomocí níž bude k libovolnému [[úhel|úhlu]] možné zkonstruovat úhel o třetinové velikosti.''
+Poněkud méně formálně:
+''Rozdělte daný úhel na tři stejně velké části pouze za užití [[pravítko|pravítka]] a [[kružítko|kružítka]].''
+== Historie ==
+Již ve starověku a po celý středověk a renesanci se největší učenci své doby pokoušeli problém '''trisekce úhlu''' vyřešit. Až v roce 1830 dokázal mladý francouzský [[matematik]] Évariste Galois, že úlohu trisekce úhlu nelze pouze za použití pravítka a kružítka provést.
+== Důkaz neřešitelnosti ==
+[[Matematický důkaz|Důkaz]] nemožnosti provést požadovanou konstrukci sestává ze dvou nezávislých částí, z nichž první je obdobná pro důkazy neřešitelnosti všech tří klasických problémů:
+# ověření, že lze zkonstruovat jen ty [[úhel|úhly]], jejichž [[sinus]] i [[kosinus]] jsou [[algebraické číslo|algebraická čísla]] stupně (nad [[těleso (algebra)|tělesem]] [[racionální číslo|racionálních čísel]]) mocniny dvou
+# nalezení úhlu, jehož [[kosinus]] není [[algebraické číslo]] stupně mocniny dvou, a jehož trojnásobek lze zkonstruovat
+Tyto dva kroky nyní provedeme odděleně.
+=== Konstruovatelné úhly ===
+Za konstruovatelnou délku (resp. [[úhel]], [[Soustava souřadnic|souřadnici]]) označíme takovou délku (resp. [[úhel]], [[Soustava souřadnic|souřadnici]]), kterou lze zkonstruovat z dané jednotkové [[úsečka|úsečky]] a daného počátku pouze pomocí [[pravítko|pravítka]] a [[kružítko|kružítka]]. Velmi snadno ověříme, že každá [[racionální číslo|racionální]] délka (souřadnice) je konstruovatelná. [[Matematická indukce|Indukcí]] podle počtu kroků nejkratší konstrukce ověříme, že každá konstruovatelná [[Soustava souřadnic|souřadnice]] (jak x-ová, tak y-ová) je [[algebraické číslo]] stupně [[mocnina|mocniny]] dvou. Nechť je tedy dána konstruovatelná souřadnice ''s'' a nechť
+* její nejkratší konstrukce (přesněji konstrukce [[bod]]u majícího tuto souřadnici) má ''0'' kroků
+** Pak ''s'' může být pouze souřadnice koncového [[bod]]u jednotkové [[úsečka|úsečky]] nebo počátku (tj. ''s=1'' nebo ''s=0''), což je v obou případech algebraické číslo stupně ''1=2<sup>0</sup>''.
+* její nejkratší konstrukce má ''n+1'' kroků, přičemž víme, že všechny souřadnice, které lze zkonstruovat v méně než ''n+1'' krocích, jsou algebraické stupně mocniny dvou
+** Proveďme nyní prvních ''n'' kroků oné ''n+1'' krokové konstrukce souřadnice ''s''. Označme ''T'' [[těleso (algebra)|těleso]] generované všemi dosud zkonstruovanými souřadnicemi a jeho stupeň nad tělesem ''Q'' všech [[racionální číslo|racionálních čísel]] (délek) označme ''[T:Q]''. Protože ''T'' vzniklo postupným rozšiřováním ''Q'' o souřadnice konstruované v prvních ''n'' krocích, je ''[T:Q]'' mocnina dvou (snadnou aplikací indukčního předpokladu). Dále určíme stupeň ''[T[s]:T]'', kde ''T[s]'' je těleso generované prvky ''T'' a souřadnicí ''s''. Víme (z definice ''T''), že souřadnici ''s'' lze zkonstruovat v jediném kroku ze souřadnic obsažených v [[těleso (algebra)|tělese]] ''T''. Souřadnice ''s'' tedy může být souřadnicí [[bod]]u,
+*** který již byl zkonstruován v prvních ''n'' krocích
+**** Pak ''s'' je prvkem ''T'' a tedy ''[T[s]:T]=1''.
+*** který vznikl protnutím dvou [[úsečka|úseček]] v (''n+1'')-ním kroku
+**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení [[soustava lineárních rovnic|soustavy lineárních rovnic]] ''y=ax+b'', ''y=cx+d'', kde první a druhá [[rovnice]] popisují analyticky první a druhou z protínajících se úseček. Protože však krajní [[bod]]y těchto úseček byly zkonstruovány již v prvních ''n'' krocích, jsou jejich [[Soustava souřadnic|souřadnice]] a v důsledku i [[koeficient]]y ''a,b,c,d'' prvky ''T''. Proto i obě složky řešení ''(x,y)'' jsou v ''T'', a tedy opět ''[T[s]:T]=1''.
+*** který vznikl protnutím [[úsečka|úsečky]] a [[kružnice]] v (''n+1'')-ním kroku
+**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení lineárně kvadratické [[soustava rovnic|soustavy rovnic]] ''y=ax+b'', ''(x-c)<sup>2</sup>+(y-d)<sup>2</sup>=r<sup>2</sup>'', kde první (resp. druhá) [[rovnice]] popisuje analyticky úsečku (resp. kružnici). Opět - obdobně jako v předchozím bodě - jsou ''a,b,c,d'' prvky ''T'', a protože čtverec vzdálenosti každých dvou [[bod]]ů se [[Soustava souřadnic|souřadnice]]mi z ''T'' leží rovněž v ''T'', je i ''r<sup>2</sup>'' v ''T''. Vyjádřením řešení ''(x,y)'' zjistíme, že obě jeho složky leží v [[těleso (algebra)|tělese]] <big>\(T[\sqrt{q}]\)</big>, kde q je vhodný prvek ''T''. Protože zřejmě <big>\([T[\sqrt{q}]:T]=1 \mbox{ nebo } 2\)</big> a podle obecné teorie [[algebraické rozšíření|algebraických rozšíření]] dělí stupeň každého prvku rozšíření stupeň tohoto rozšíření, je nutně ''[T[s]:T]=1 nebo 2''.
+*** který vznikl protnutím dvou [[kružnice|kružnic]] v (''n+1'')-ním kroku
+**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení [[soustava rovnic|soustavy]] [[kvadratická rovnice|kvadratických rovnic]] (x-a)<sup>2</sup>+(y-b)<sup>2</sup>=r<sup>2</sup>'', (x-c)<sup>2</sup>+(y-d)<sup>2</sup>=t<sup>2</sup>'', kde první a druhá [[rovnice]]popisují analyticky první a druhou z protínajících se kružnic. Opět jako v předchozích bodech jsou ''a,b,c,d,r,t'' prvky ''T''. Opět vyjádřením řešení ''(x,y)'' zjistíme, že obě jeho složky leží v tělese <big>\(T[\sqrt{q}]\)</big>, kde q je vhodný prvek ''T''. Zcela stejně jako v předchozím bodě můžeme vidět, že ''[T[s]:T]=1 nebo 2''.
+** Ve všech čtyřech popisovaných případech je tedy ''[T[s]:T]=1 nebo 2''. Protože z předchozího víme, že ''[T:Q]'' je [[mocnina]] dvou, plyne z obecného algebraického tvrzení o multiplikativitě stupňů rozšíření, že ''[T[s]:Q]=[T[s]:T][T:Q]'' je rovněž mocnina dvou. Dále stupeň ''s'' nad ''Q'' je roven ''[T[s]:Q]'', tedy je také mocninou dvou, čímž je indukční krok dokončen.
+Dále zřejmě každá konstruovatelná délka je vzdáleností dvou [[bod]]ů s konstruovatelnými [[Soustava souřadnic|souřadnice]]mi, a tedy její čtverec je prvkem [[těleso (algebra)|tělesa]] generovaného konečně mnoha konstruovatelnými souřadnicemi. Proto čtverec konstruovatelné vzdálenosti má stupeň mocniny dvou nad ''Q''. Opět z věty o multiplikativitě stupňů rozšíření plyne, že i daná vzdálenost má stupeň mocniny dvou nad ''Q''.
+Konečně, zkonstruujeme-li [[úhel]] velikosti α, můžeme snadno zkonstruovat [[úsečka|úsečky]] délky sin(α) i cos(α). Proto plyne z předchozího, že konstruovatelné jsou jen ty úhly, jejichž [[sinus]] i [[kosinus]] jsou [[algebraické číslo|algebraická čísla]] stupně mocniny dvou.
+=== Úhel 20° (π/9) není konstruovatelný ===
+Nyní již zbývá ukázat pouze existenci [[úhel|úhlu]] splňujícího, že [[kosinus]] jeho třetiny má stupeň různý od mocniny dvou a jeho trojnásobek je konstruovatelný (pak totiž nebudeme muset předpokládat, že je dán úhel, který máme rozdělit, což nám v první části důkazu umožnilo zjednodušit si situaci předpokladem, že dány jsou jen počátek a jednotková úsečka). Takovým úhlem je například ''60°'' (''π/3''). Z obecné [[trigonometrie|trigonometrické]] identity ''cos(3α) = 4cos³(α) − 3cos(α)'' plyne dosazením ''α=20°'' (''α=π/9'') (označíme-li ''y=cos(20°)=cos(π/9)) 8y³ − 6y − 1 = 0'', odkud [[substituce (matematika)|substitucí]] ''x=2y'' dostaneme ''4x³ − 3x − 1 = 0''. Pokud nyní stupeň ''x'' splňujícího předchozí rovnost nebude mocninou dvou, nebude mocninou dvou ani stupeň ''y'', což chceme dokázat. Snadno nahlédneme, že [[polynom]] ''t³ − 3t − 1'' je [[ireducibilní polynom|ireducibilní]] (kdyby nebyl, pak má faktor stupně jedna, a tedy racionální [[kořen (matematika)|kořen]], podle věty o racionálních kořenech (je-li ''p/q'' kořenem polynomu ''P'' s celočíselnými koeficienty a ''p'' je nesoudělné s ''q'', pak ''q'' dělí [[vedoucí koeficient]] ''P'' a ''p'' jeho [[absolutní člen]]) je tento kořen jedno z čísel ''1,-1'', což evidentně není pravda). [[Minimální polynom|Minimálním polynomem]] ''x'' je tedy samotný polynom ''t³ − 3t − 1'', a tedy ''x'' má stupeň tři, což není mocnina dvou. Tím je důkaz dokončen.
+== Související články ==
+* [[duplikace krychle]]
+* [[kvadratura kruhu]]
+{{Článek z Wikipedie}}
 [[Kategorie:Matematické problémy]]
 [[Kategorie:Geometrie]]