Per partes

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(Velké vylep.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Per partes|700}}
+
'''Integrace per partes''' ('''integrace po částech''') se používá pro [[integrál|integrování]] [[součin]]u [[funkce (matematika)|funkcí]]. Tato metoda je založena na větě o [[derivace|derivaci]] součinu:
 +
:<math>(uv)^\prime =u^\prime v+uv^\prime</math>
 +
Uplatníme-li tuto větu na podmínky pro integrál, dostáváme následující vzorce:
 +
:<math>\int(uv)'\,\mathrm{d}x = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x</math>
 +
:<math>uv = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x</math>
 +
 +
Úpravou druhé rovnice dostáváme metodu integrace označovanou jako '''per partes''':
 +
:<math>\int(uv')\,\mathrm{d}x = uv - \int(u'v)\,\mathrm{d}x</math>
 +
Druhý vztah získáme pouhou záměnou <math>u \leftrightarrow v</math>.
 +
 +
Vztah pro integraci po částech bývá také vyjadřován pomocí [[Diferenciál (matematika)|diferenciálu]] jako
 +
:<math>\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u</math>
 +
 +
Metoda ''per partes'' je vhodná pro integrování součinu funkcí. Při hledání integrálu lze metodu per partes použít opakovaně.
 +
 +
== Příklady ==
 +
* <math>\int(x\cdot\cos x)\,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x - \int \sin x \,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x + \cos x + C</math>, kde bylo použito <math>u = x,  v^\prime = \cos x</math>
 +
* Pro nalezení <math>\int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x</math> položíme <math>u = x^2, v^\prime = \sin x</math>, takže dostaneme <math>\int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x = - x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \mathrm{d}x</math>. Pro řešení získaného integrálu použijeme opět metodu per partes, přičemž položíme <math>u = x, v^\prime = \cos x</math>, tzn. <math>\int x \cos x \mathrm{d}x = x \sin x - \int \sin x \mathrm{d}x = x \sin x + \cos x</math>. Dosazením pak získáme konečný výsledek <math>\int x^2 \sin x \mathrm{d}x = -x^2 \cos x + 2(x \sin x + \cos x) + C</math>
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Integrál]]
 +
* [[Derivace]]
 +
* [[Substituční metoda]]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Integrální počet]]
[[Kategorie:Integrální počet]]

Verze z 14. 6. 2015, 13:40

Integrace per partes (integrace po částech) se používá pro integrování součinu funkcí. Tato metoda je založena na větě o derivaci součinu:

<math>(uv)^\prime =u^\prime v+uv^\prime</math>

Uplatníme-li tuto větu na podmínky pro integrál, dostáváme následující vzorce:

<math>\int(uv)'\,\mathrm{d}x = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x</math>
<math>uv = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x</math>

Úpravou druhé rovnice dostáváme metodu integrace označovanou jako per partes:

<math>\int(uv')\,\mathrm{d}x = uv - \int(u'v)\,\mathrm{d}x</math>

Druhý vztah získáme pouhou záměnou <math>u \leftrightarrow v</math>.

Vztah pro integraci po částech bývá také vyjadřován pomocí diferenciálu jako

<math>\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u</math>

Metoda per partes je vhodná pro integrování součinu funkcí. Při hledání integrálu lze metodu per partes použít opakovaně.

Příklady

  • <math>\int(x\cdot\cos x)\,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x - \int \sin x \,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x + \cos x + C</math>, kde bylo použito <math>u = x, v^\prime = \cos x</math>
  • Pro nalezení <math>\int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x</math> položíme <math>u = x^2, v^\prime = \sin x</math>, takže dostaneme <math>\int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x = - x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \mathrm{d}x</math>. Pro řešení získaného integrálu použijeme opět metodu per partes, přičemž položíme <math>u = x, v^\prime = \cos x</math>, tzn. <math>\int x \cos x \mathrm{d}x = x \sin x - \int \sin x \mathrm{d}x = x \sin x + \cos x</math>. Dosazením pak získáme konečný výsledek <math>\int x^2 \sin x \mathrm{d}x = -x^2 \cos x + 2(x \sin x + \cos x) + C</math>

Související články


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Per_partes“