V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!

Monoid

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Masivní vylepšení)
 
(Není zobrazena jedna mezilehlá verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Monoid|700}}
+
{| align="right" class="wikitable"
 +
! colspan="4"| <big>Struktury s jednou binární operací</big>
 +
|-
 +
! &nbsp;&nbsp;
 +
! width=60 | [[Asociativita]]
 +
! width=60 | [[Neutrální prvek]]
 +
! width=60 | [[Inverzní prvek]]
 +
|- align="center"
 +
! [[Grupa]]
 +
| [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] ||  [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]]
 +
|- align="center"
 +
! [[Monoid]]
 +
| [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]]
 +
|- align="center"
 +
! [[Pologrupa]]
 +
| [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]]
 +
|- align="center"
 +
! [[Lupa (matematika)|Lupa]]
 +
| [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]]
 +
|- align="center"
 +
! [[Kvazigrupa]]
 +
| [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]]
 +
|- align="center"
 +
! [[Grupoid]]
 +
| [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]]
 +
|}
 +
V [[algebra|algebře]] je '''monoid''' [[algebraická struktura]] s jednou [[asociativita|asociativní]] [[binární operace|binární operací]] a [[neutrální prvek|neutrálním prvkem]].
 +
Je to tedy [[grupoid]], jehož operace je asociativní a který má neutrální prvek.
 +
 +
== Definice ==
 +
'''Monoid''' je [[grupoid]] (M; ·), tedy [[množina]] ''M'' s [[binární operace|binární operací]] „·“ : ''M'' × ''M'' → ''M'', a těmito axiomy:
 +
* [[Asociativita]]: ∀ ''x'', ''y'', ''z''&nbsp;∈&nbsp;M (''x''·''y'')·''z''&nbsp;=&nbsp;''x''·(''y''·''z'')
 +
* [[Neutrální prvek]]: (∃''e''∈ M) (∀x∈ M) ''x''·''e'' = ''e''·''x'' = ''x''.
 +
Někdy se uvádí i následující axiom plynoucí však z definice [[binární operace]].
 +
* ∀ (''x'', ''y'' ∈ M) ''x''·''y'' ∈ M
 +
 +
Monoid tak je vlastně [[pologrupa]] s [[neutrální prvek|neutrálním prvkem]].
 +
 +
Pokud bychom doplnili tyto axiomy o existenci [[inverzní prvek|inverzních prvků]], byla by tato struktura [[grupa|grupou]].
 +
 +
Monoid, jehož operace je také [[komutativita|komutativní]] se nazývá '''komutativní monoid''', nebo '''Abelovský monoid'''.
 +
 +
== Příklady ==
 +
* [[Přirozené číslo|Přirozená čísla]] tvoří komutativní monoid k operaci [[násobení]].
 +
* Množina všech [[matice|matic]] ''n×n'' tvoří monoid vůči sčítání i násobení
 +
 +
== Homomorfismus monoidů ==
 +
O dvou monoidech (M; ·) a (M'; ∗) řekneme, že jsou [[homomorfismus|homomorfní]] jestliže existuje zobrazení ([[homomorfismus]]) ''f'': M → M' takové, že:
 +
* ∀''x'',''y''∈M f(''x''·''y'')=f(x)∗f(y).
 +
* f(''e'')=''e'' ', kde ''e'' je neutrální prvek grupoidu (M; ·) a ''e'' ' neutrální prvek grupoidu (M'; ∗).
 +
 +
Je-li zobrazení mezi dvěma monoidy [[bijekce|bijektivní]] a je to homomorfismus, říkáme, že tyto dva monoidy jsou [[izomorfismus|izomorfní]].
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Grupoid]] 
 +
* [[Pologrupa]]
 +
* [[Grupa]] – monoid rozšířený o [[Inverzní prvek|inverzní]] operaci
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Algebraické struktury]]
[[Kategorie:Algebraické struktury]]

Aktuální verze z 30. 10. 2015, 00:20

Struktury s jednou binární operací
   Asociativita Neutrální prvek Inverzní prvek
Grupa FFresh tick octagon.png FFresh tick octagon.png FFresh tick octagon.png
Monoid FFresh tick octagon.png FFresh tick octagon.png FFresh cancel.png
Pologrupa FFresh tick octagon.png FFresh cancel.png FFresh cancel.png
Lupa FFresh cancel.png FFresh tick octagon.png FFresh tick octagon.png
Kvazigrupa FFresh cancel.png FFresh cancel.png FFresh cancel.png
Grupoid FFresh cancel.png FFresh cancel.png FFresh cancel.png

V algebře je monoid algebraická struktura s jednou asociativní binární operací a neutrálním prvkem.

Je to tedy grupoid, jehož operace je asociativní a který má neutrální prvek.

Obsah

Definice

Monoid je grupoid (M; ·), tedy množina M s binární operací „·“ : M × M → M, a těmito axiomy:

Někdy se uvádí i následující axiom plynoucí však z definice binární operace.

  • ∀ (x, y ∈ M) x·y ∈ M

Monoid tak je vlastně pologrupa s neutrálním prvkem.

Pokud bychom doplnili tyto axiomy o existenci inverzních prvků, byla by tato struktura grupou.

Monoid, jehož operace je také komutativní se nazývá komutativní monoid, nebo Abelovský monoid.

Příklady

Homomorfismus monoidů

O dvou monoidech (M; ·) a (M'; ∗) řekneme, že jsou homomorfní jestliže existuje zobrazení (homomorfismus) f: M → M' takové, že:

  • ∀x,y∈M f(x·y)=f(x)∗f(y).
  • f(e)=e ', kde e je neutrální prvek grupoidu (M; ·) a e ' neutrální prvek grupoidu (M'; ∗).

Je-li zobrazení mezi dvěma monoidy bijektivní a je to homomorfismus, říkáme, že tyto dva monoidy jsou izomorfní.

Související články


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Monoid“