V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.
Polární soustava souřadnic
Z Multimediaexpo.cz
(Rozdíly mezi verzemi)
m (Nahrazení textu) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
| (Nejsou zobrazeny 2 mezilehlé verze.) | |||
| Řádka 1: | Řádka 1: | ||
| - | '''Polární soustava souřadnic''' je taková [[soustava souřadnic]] v [[rovina|rovině]], u které jedna souřadnice (označovaná < | + | '''Polární soustava souřadnic''' je taková [[soustava souřadnic]] v [[rovina|rovině]], u které jedna souřadnice (označovaná <big>\(r\)</big>) udává [[vzdálenost]] [[bod]]u od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná <big>\(\varphi\)</big>) udává [[úhel]] spojnice tělesa a počátku od zvolené osy ležící v rovině (nejčastěji jí odpovídá osa <big>\(x\)</big> [[Kartézská soustava souřadnic|kartézských souřadnic]]). Jedná se o [[Ortogonální souřadnicová soustava|ortogonální soustavu souřadnic]] s [[Lamého koeficienty]] |
| - | < | + | <big>\(h_r = 1 \quad h_{\varphi} = r\)</big>. |
Polární soustava souřadnic je vhodná v případech takových [[Mechanický pohyb|pohybů]], při nichž se nemění vzdálenost tělesa od jednoho bodu (počátku souřadnic), například u [[Pohyb po kružnici|pohybu po kružnici]], případně se tato vzdálost mění s nějakou jednoduchou závislostí. | Polární soustava souřadnic je vhodná v případech takových [[Mechanický pohyb|pohybů]], při nichž se nemění vzdálenost tělesa od jednoho bodu (počátku souřadnic), například u [[Pohyb po kružnici|pohybu po kružnici]], případně se tato vzdálost mění s nějakou jednoduchou závislostí. | ||
| Řádka 11: | Řádka 11: | ||
[[Transformace souřadnic|Transformace]] '''polárních souřadnic''' na [[Kartézská soustava souřadnic|kartézské]]:<br /> | [[Transformace souřadnic|Transformace]] '''polárních souřadnic''' na [[Kartézská soustava souřadnic|kartézské]]:<br /> | ||
| - | :< | + | :<big>\(x = r \cos{\varphi}\,\)</big><br /> |
| - | :< | + | :<big>\(y = r \sin{\varphi}\,\)</big><br /> |
Převod [[Kartézská soustava souřadnic|kartézských souřadnic]] na '''polární''':<br /> | Převod [[Kartézská soustava souřadnic|kartézských souřadnic]] na '''polární''':<br /> | ||
| - | :< | + | :<big>\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)</big><br /> |
| - | :< | + | :<big>\(\varphi = \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)\)</big><br /> |
| - | Tato převodní funkce však funguje jen na [[interval (matematika)|intervalu]] < | + | Tato převodní funkce však funguje jen na [[interval (matematika)|intervalu]] <big>\(\varphi \in \langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle\)</big> - pro jiné intervaly bychom museli změnit znaménko [[Arkus tangens|funkce arctg(''x'')]]. Abychom mohli popsat [[inverzní funkce|inverzi]] pro daný úhel na celém jeho [[definiční obor|definičním intervalu]], bývá často používána funkce [[funkce arctg2|arctg2(''y'',''x'')]] definovaná jako |
| - | :< | + | :<big>\(\operatorname{arctg2}(y,x) = \left\{\begin{matrix} |
\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right),\ \ \ \ \ \ & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y>0), \\ | \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right),\ \ \ \ \ \ & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y>0), \\ | ||
\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + \pi,\ & \mbox{je-li } | \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + \pi,\ & \mbox{je-li } | ||
(x<0), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ | (x<0), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ | ||
\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + 2\pi, & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y<0), \\ | \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + 2\pi, & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y<0), \\ | ||
| - | \end{matrix}\right.</ | + | \end{matrix}\right.\)</big> |
Převod [[Kartézská soustava souřadnic|kartézských souřadnic]] na '''polární''' má potom zápis: | Převod [[Kartézská soustava souřadnic|kartézských souřadnic]] na '''polární''' má potom zápis: | ||
| - | :< | + | :<big>\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)</big><br /> |
| - | :< | + | :<big>\(\varphi = \operatorname{arctg2}\left(y,x\right)\)</big><br /> |
== Metrické vlastnosti == | == Metrické vlastnosti == | ||
| Řádka 35: | Řádka 35: | ||
Délka [[Infinitezimální hodnota|infinitesimální]] úsečky se spočte jako | Délka [[Infinitezimální hodnota|infinitesimální]] úsečky se spočte jako | ||
| - | :< | + | :<big>\(\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\varphi^2,\)</big> |
tedy délka [[křivka|křivky]] obecně jako | tedy délka [[křivka|křivky]] obecně jako | ||
| - | :< | + | :<big>\(\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2 |
| - | +r^2\left(\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2}}\mathrm{d}t,</ | + | +r^2\left(\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2}}\mathrm{d}t,\)</big> |
| - | kde ''t'' je parametr dané křivky a s je její délka od < | + | kde ''t'' je parametr dané křivky a s je její délka od <big>\(t_1\)</big> do <big>\(t_2\)</big>. |
[[Obsah]] infinitesimálního elementu plochy spočteme jako | [[Obsah]] infinitesimálního elementu plochy spočteme jako | ||
| - | :< | + | :<big>\(\mathrm{d}S=r \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi,\)</big> |
takže celkový obsah spočteme [[integrál|integrací]] tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou v polárních souřadnicích. | takže celkový obsah spočteme [[integrál|integrací]] tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou v polárních souřadnicích. | ||
| Řádka 52: | Řádka 52: | ||
[[Afinní konexe]] jsou dány vztahy | [[Afinní konexe]] jsou dány vztahy | ||
| - | :< | + | :<big>\({\Gamma^r}_{rr}={\Gamma^\varphi}_{\varphi\varphi}= |
| - | {\Gamma^r}_{r\varphi}={\Gamma^r}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{rr}=0</ | + | {\Gamma^r}_{r\varphi}={\Gamma^r}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{rr}=0\)</big> |
| - | :< | + | :<big>\({\Gamma^\varphi}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{r \varphi} = \frac{1}{r}\)</big> |
| - | :< | + | :<big>\({\Gamma^r}_{\varphi \varphi}= -r\)</big> |
== Diferenciální operátory v polárních souřadnicích == | == Diferenciální operátory v polárních souřadnicích == | ||
| - | :< | + | :<big>\(\nabla f = |
{\partial f \over \partial r }\boldsymbol{\hat r } | {\partial f \over \partial r }\boldsymbol{\hat r } | ||
+ {1 \over r }{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi} | + {1 \over r }{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi} | ||
| - | </ | + | \)</big> |
| - | :< | + | :<big>\(\nabla \cdot \mathbf{A} = |
{1 \over r }{\partial \left( r A_r \right) \over \partial r } | {1 \over r }{\partial \left( r A_r \right) \over \partial r } | ||
+ {1 \over r }{\partial A_\varphi \over \partial \varphi} | + {1 \over r }{\partial A_\varphi \over \partial \varphi} | ||
| - | </ | + | \)</big> |
| - | :< | + | :<big>\(\Delta f = \nabla^2 f = |
{1 \over r }{\partial \over \partial r }\left( r {\partial f \over \partial r }\right) | {1 \over r }{\partial \over \partial r }\left( r {\partial f \over \partial r }\right) | ||
+ {1 \over r ^2}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} | + {1 \over r ^2}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} | ||
| - | </ | + | \)</big> |
| - | :< | + | :<big>\(\Delta \mathbf{A} = |
\left(\Delta A_r - {A_r \over r ^2} | \left(\Delta A_r - {A_r \over r ^2} | ||
- {2 \over r ^2}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r } + | - {2 \over r ^2}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r } + | ||
\left(\Delta A_\varphi - {A_\varphi \over r ^2} | \left(\Delta A_\varphi - {A_\varphi \over r ^2} | ||
+ {2 \over r ^2}{\partial A_r \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\varphi} | + {2 \over r ^2}{\partial A_r \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\varphi} | ||
| - | </ | + | \)</big> |
Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53
Polární soustava souřadnic je taková soustava souřadnic v rovině, u které jedna souřadnice (označovaná \(r\)) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná \(\varphi\)) udává úhel spojnice tělesa a počátku od zvolené osy ležící v rovině (nejčastěji jí odpovídá osa \(x\) kartézských souřadnic). Jedná se o ortogonální soustavu souřadnic s Lamého koeficienty
\(h_r = 1 \quad h_{\varphi} = r\).
Polární soustava souřadnic je vhodná v případech takových pohybů, při nichž se nemění vzdálenost tělesa od jednoho bodu (počátku souřadnic), například u pohybu po kružnici, případně se tato vzdálost mění s nějakou jednoduchou závislostí.
Transformace polárních souřadnic na kartézské:
- \(x = r \cos{\varphi}\,\)
- \(y = r \sin{\varphi}\,\)
Převod kartézských souřadnic na polární:
- \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)
- \(\varphi = \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)\)
Tato převodní funkce však funguje jen na intervalu \(\varphi \in \langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle\) - pro jiné intervaly bychom museli změnit znaménko funkce arctg(x). Abychom mohli popsat inverzi pro daný úhel na celém jeho definičním intervalu, bývá často používána funkce arctg2(y,x) definovaná jako
- \(\operatorname{arctg2}(y,x) = \left\{\begin{matrix}
\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right),\ \ \ \ \ \ & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y>0), \\ \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + \pi,\ & \mbox{je-li } (x<0), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + 2\pi, & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y<0), \\ \end{matrix}\right.\)
Převod kartézských souřadnic na polární má potom zápis:
- \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)
- \(\varphi = \operatorname{arctg2}\left(y,x\right)\)
Metrické vlastnosti
Délka infinitesimální úsečky se spočte jako
- \(\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\varphi^2,\)
tedy délka křivky obecně jako
- \(\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2
+r^2\left(\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2}}\mathrm{d}t,\)
kde t je parametr dané křivky a s je její délka od \(t_1\) do \(t_2\).
Obsah infinitesimálního elementu plochy spočteme jako
- \(\mathrm{d}S=r \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi,\)
takže celkový obsah spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou v polárních souřadnicích.
Afinní konexe jsou dány vztahy
- \({\Gamma^r}_{rr}={\Gamma^\varphi}_{\varphi\varphi}=
{\Gamma^r}_{r\varphi}={\Gamma^r}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{rr}=0\)
- \({\Gamma^\varphi}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{r \varphi} = \frac{1}{r}\)
- \({\Gamma^r}_{\varphi \varphi}= -r\)
Diferenciální operátory v polárních souřadnicích
- \(\nabla f =
{\partial f \over \partial r }\boldsymbol{\hat r }
+ {1 \over r }{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi}
\)
- \(\nabla \cdot \mathbf{A} =
{1 \over r }{\partial \left( r A_r \right) \over \partial r }
+ {1 \over r }{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}
\)
- \(\Delta f = \nabla^2 f =
{1 \over r }{\partial \over \partial r }\left( r {\partial f \over \partial r }\right)
+ {1 \over r ^2}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
\)
- \(\Delta \mathbf{A} =
\left(\Delta A_r - {A_r \over r ^2}
- {2 \over r ^2}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r } +
\left(\Delta A_\varphi - {A_\varphi \over r ^2}
+ {2 \over r ^2}{\partial A_r \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\varphi}
\)
Externí odkazy
- Polární souřadnice na MathWorldu
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |