The English encyclopedia Allmultimedia.org will be launched in two phases.
The final launch of the Allmultimedia.org will take place on February 27, 2026
(shortly after the 2026 Winter Olympics).

Substituční metoda (integrování)

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Aktualizace)
 
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Substituční metoda (integrování)|700}}
+
'''Substituční metoda''' je [[metoda]] používaná při počítání s [[integrál]]y. Při této metodě zavádíme do [[integrál]]u novou [[proměnná|proměnnou]].
-
 
+
 
 +
Pokud lze [[funkce (matematika)|funkci]] <big>\(f(x)\)</big> vyjádřit na [[Interval (matematika)|intervalu]] <big>\((a,b)\)</big> ve tvaru <big>\(f(x) = g(h(x))h^\prime(x)\)</big>, kde <big>\(h^\prime(x)\)</big> je [[spojitá funkce|spojitá]] v intervalu <big>\((a,b)\)</big> a <big>\(g(z)\)</big> je spojitá pro všechna <big>\(z=h(x)\)</big>, pak pro <big>\(x \in (a,b)\)</big> platí
 +
:<big>\(\int f(x) \mathrm{d}x = \int g(h(x)) h^\prime(x) \mathrm{d}x = \int g(z) \mathrm{d}z = G(z) + C = G(h(x)) + C\)</big>, kde byla použita [[substituce (matematika)|substituce]] <big>\(z=h(x)\)</big>.
 +
 
 +
Jiným případem je substituce <big>\(x=\phi(z)\)</big>, kde funkce <big>\(\phi\)</big> je [[monotónní funkce|monotónní]] pro všechna <big>\(z\)</big> z intervalu <big>\((\alpha,\beta)\)</big> a má na tomto intervalu spojitou [[derivace|derivaci]] <big>\(\phi^\prime\)</big>. Potom platí
 +
:<big>\(\int f(x) \mathrm{d}x = \int f(\phi(z)) \phi^\prime(z) \mathrm{d}z = H(z)+C\)</big>
 +
 
 +
Výsledek získáme tak, že ze vztahu <big>\(x=\phi(z)\)</big> vyjádříme proměnnou <big>\(z\)</big> a dosadíme do <big>\(H(z) + C\)</big>.
 +
 
 +
== Substituce ve vícerozměrných integrálech ==
 +
Uvažujme uzavřenou ''n''-[[Dimenze vektorového prostoru|rozměrnou]] oblast <big>\(M\)</big> v proměnných <big>\(x_i\)</big> pro <big>\(i=1,2,...,n\)</big>, a uzavřenou ''n''-rozměrnou oblast <big>\(N\)</big> v proměnných <big>\(y_i\)</big>. Mezi oblastmi <big>\(M\)</big> a <big>\(N\)</big> nechť existuje [[Bijekce|vzájemně jednoznačné zobrazení]] <big>\(x_i = \phi_i(y_1,y_2,...,y_n)\)</big>,<br />přičemž existují [[spojitá funkce|spojité]] [[parciální derivace]] prvního řádu <big>\(\frac{\partial \phi_i}{\partial y_j}\)</big> pro všechna <big>\(i, j\)</big> a [[Jacobiho matice a determinant|jakobián]] <big>\(\frac{D(x_1,x_2,...,x_n)}{D(y_1,y_2,...,y_n)}\)</big> je nenulový, tzn. <big>\(\frac{D(x_1,x_2,...,x_n)}{D(y_1,y_2,...,y_n)} \ne 0\)</big>. Pokud je na oblasti <big>\(M\)</big> definována spojitá [[ohraničená funkce]] <big>\(f(x_1,x_2,...,x_n)\)</big>, pak
 +
:<big>\({\iint\cdots\int}_M f(x_1,x_2,...,x_n) \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \cdots\mathrm{d}x_n = {\iint\cdots\int}_N f(\phi_1(y_1,y_2,...,y_n),\phi_2(y_1,y_2,...,y_n),...,\phi_n(y_1,y_2,...,y_n)) \left|\frac{D(x_1,x_2,...,x_n)}{D(y_1,y_2,...,y_n)}\right| \mathrm{d}y_1 \mathrm{d}y_2 \cdots\mathrm{d}y_n\)</big>
 +
 
 +
V případě [[dvojný integrál|dvojného integrálu]], kdy mezi oblastí <big>\(M\)</big> o [[Soustava souřadnic|souřadnicích]] <big>\(x, y\)</big> a oblastí <big>\(N\)</big> o souřadnicích <big>\(u, v\)</big> existuje vzájemně jednoznačné zobrazení <big>\(x=x(u,v), y=y(u,v)\)</big>, má jakobián tvar
 +
:<big>\(\frac{D(x,y)}{D(u.v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}\)</big>
 +
 
 +
Je-li <big>\(\frac{D(x,y)}{D(u.v)} \ne 0\)</big>, pak dostaneme pro funkci <big>\(f(x,y)\)</big>
 +
:<big>\(\iint_M f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_N f(x(u,v),y(u,v)) \left|\frac{D(x,y)}{D(u.v)}\right| \mathrm{d}u\mathrm{d}v\)</big>
 +
 
 +
V případě [[trojný integrál|trojného integrálu]], kdy mezi oblastí <big>\(M\)</big> o souřadnicích <big>\(x, y, z\)</big> a oblastí <big>\(N\)</big> o souřadnicích <big>\(u, v, w\)</big> existuje vzájemně jednoznačné zobrazení <big>\(x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w)\)</big>, má jakobián tvar
 +
:<big>\(\frac{D(x,y,z)}{D(u.v,w)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix}\)</big>
 +
 
 +
Je-li <big>\(\frac{D(x,y,z)}{D(u.v,w)} \ne 0\)</big>, pak pro funkci <big>\(f(x,y,z)\)</big> dostaneme výraz
 +
:<big>\(\iiint_M f(x,y,z) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \iiint_N f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) \left|\frac{D(x,y,z)}{D(u.v,w)}\right| \mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w\)</big>
 +
 
 +
== Související články ==
 +
* [[Substituce (matematika)|Substituce]]
 +
 
 +
== Externí odkazy ==
 +
* [https://cs.wikisource.org/wiki/Ott%C5%AFv_slovn%C3%ADk_nau%C4%8Dn%C3%BD/Substituce Encyklopedické heslo Substituce v Ottově slovníku naučném]
 +
 
 +
 
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Integrální počet]]
[[Kategorie:Integrální počet]]

Aktuální verze z 27. 4. 2025, 10:24

Substituční metoda je metoda používaná při počítání s integrály. Při této metodě zavádíme do integrálu novou proměnnou.

Pokud lze funkci \(f(x)\) vyjádřit na intervalu \((a,b)\) ve tvaru \(f(x) = g(h(x))h^\prime(x)\), kde \(h^\prime(x)\) je spojitá v intervalu \((a,b)\) a \(g(z)\) je spojitá pro všechna \(z=h(x)\), pak pro \(x \in (a,b)\) platí

\(\int f(x) \mathrm{d}x = \int g(h(x)) h^\prime(x) \mathrm{d}x = \int g(z) \mathrm{d}z = G(z) + C = G(h(x)) + C\), kde byla použita substituce \(z=h(x)\).

Jiným případem je substituce \(x=\phi(z)\), kde funkce \(\phi\) je monotónní pro všechna \(z\) z intervalu \((\alpha,\beta)\) a má na tomto intervalu spojitou derivaci \(\phi^\prime\). Potom platí

\(\int f(x) \mathrm{d}x = \int f(\phi(z)) \phi^\prime(z) \mathrm{d}z = H(z)+C\)

Výsledek získáme tak, že ze vztahu \(x=\phi(z)\) vyjádříme proměnnou \(z\) a dosadíme do \(H(z) + C\).

Substituce ve vícerozměrných integrálech

Uvažujme uzavřenou n-rozměrnou oblast \(M\) v proměnných \(x_i\) pro \(i=1,2,...,n\), a uzavřenou n-rozměrnou oblast \(N\) v proměnných \(y_i\). Mezi oblastmi \(M\) a \(N\) nechť existuje vzájemně jednoznačné zobrazení \(x_i = \phi_i(y_1,y_2,...,y_n)\),
přičemž existují spojité parciální derivace prvního řádu \(\frac{\partial \phi_i}{\partial y_j}\) pro všechna \(i, j\) a jakobián \(\frac{D(x_1,x_2,...,x_n)}{D(y_1,y_2,...,y_n)}\) je nenulový, tzn. \(\frac{D(x_1,x_2,...,x_n)}{D(y_1,y_2,...,y_n)} \ne 0\). Pokud je na oblasti \(M\) definována spojitá ohraničená funkce \(f(x_1,x_2,...,x_n)\), pak

\({\iint\cdots\int}_M f(x_1,x_2,...,x_n) \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \cdots\mathrm{d}x_n = {\iint\cdots\int}_N f(\phi_1(y_1,y_2,...,y_n),\phi_2(y_1,y_2,...,y_n),...,\phi_n(y_1,y_2,...,y_n)) \left|\frac{D(x_1,x_2,...,x_n)}{D(y_1,y_2,...,y_n)}\right| \mathrm{d}y_1 \mathrm{d}y_2 \cdots\mathrm{d}y_n\)

V případě dvojného integrálu, kdy mezi oblastí \(M\) o souřadnicích \(x, y\) a oblastí \(N\) o souřadnicích \(u, v\) existuje vzájemně jednoznačné zobrazení \(x=x(u,v), y=y(u,v)\), má jakobián tvar

\(\frac{D(x,y)}{D(u.v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}\)

Je-li \(\frac{D(x,y)}{D(u.v)} \ne 0\), pak dostaneme pro funkci \(f(x,y)\)

\(\iint_M f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_N f(x(u,v),y(u,v)) \left|\frac{D(x,y)}{D(u.v)}\right| \mathrm{d}u\mathrm{d}v\)

V případě trojného integrálu, kdy mezi oblastí \(M\) o souřadnicích \(x, y, z\) a oblastí \(N\) o souřadnicích \(u, v, w\) existuje vzájemně jednoznačné zobrazení \(x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w)\), má jakobián tvar

\(\frac{D(x,y,z)}{D(u.v,w)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix}\)

Je-li \(\frac{D(x,y,z)}{D(u.v,w)} \ne 0\), pak pro funkci \(f(x,y,z)\) dostaneme výraz

\(\iiint_M f(x,y,z) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \iiint_N f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) \left|\frac{D(x,y,z)}{D(u.v,w)}\right| \mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w\)

Související články

Externí odkazy


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Substitu%C4%8Dn%C3%AD_metoda_(integrov%C3%A1n%C3%AD)“