Limita

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Tento článek pojednává o limitě funkce nebo zobrazení. O limitě a kolimitě v teorii kategorií je článek Limita (teorie kategorií)

Limita je matematická konstrukce, vyjadřující, že se hodnoty zadané posloupnosti nebo funkce blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se u funkcí zapisuje \(\lim_{z\rightarrow z_0} f(z)=a\) a u posloupností \(\lim_{n\to\infty} a_n=a\) případně \(a _n \to a\,\). Dle toho, zda se uvažuje o posloupnosti nebo o funkci, hovoříme o limitě posloupnosti nebo limitě funkce. Pojem limity lze definovat na libovolném metrickém prostoru.

Obsah

1 Limita posloupnosti
2 Limita funkce
3 Limita vzhledem k podmnožině
4 Vlastní a nevlastní limita
5 Zobecnění pro topologické prostory
- 5.1 Příklady
6 Poznámky
7 Související články
8 Reference

Limita posloupnosti

Hlavní článek: Limita posloupnosti

Posloupnost \(\left( a_n \right) _{n=1} ^\infty\) má limitu A, pokud se jejími hodnotami můžeme k A libovolně přiblížit. Tedy pro každé kladné číslo \(\varepsilon\) platí, že existuje nějaký člen posloupnosti, od kterého jsou už její hodnoty od A vzdáleny méně, než \(\varepsilon\). Zapsáno symbolicky:

\(\forall \varepsilon > 0: \exists n \in \mathbb{N} : \forall k \geq n : \left| a _k - A \right| < \varepsilon\)

Limita funkce

Hlavní článek: limita funkce

Říkáme, že funkce f(x) má v bodě a limitu A, jestliže k libovolnému \(\epsilon >0\) existuje takové \(\delta > 0\) , že pro všechna x z \(\delta\)-okolí bodu a, z něhož vyjmeme bod a (tzv. prstencová okolí bodu a) je \(\left| f(x)-A \right|< \epsilon, \).

Limita vzhledem k podmnožině

(Speciální případ: Pravostranná a levostranná limita)

Vlastní a nevlastní limita

Limitou posloupnosti může být nejen číslo (tj. vlastní limita), ale i symbol \(+\infty \,\!\) nebo \(-\infty \,\!\) (nevlastní limita). Limitu funkce lze zkoumat ve vlastním bodě (v reálném čísle), tak i v nevlastním bodě \(+\infty \,\!\) nebo \(-\infty \,\!\). V obou případech může být limita vlastní, nevlastní nebo limita nemusí existovat.

Zobecnění pro topologické prostory

Limita zobrazení \(f: A\to B\) mezi topologickými prostory je v bodě a definována jako \(b\in B\) takové, že pro každé okolí O(b) bodu b existuje okolí O(a) bodu a takové, že \(x\in O(a)\) implikuje \(f(x)\in O(b)\). Dalším zobecněním limity posloupnosti, funkce i zobrazení jsou limity sítí^[1]. Limita zobrazení nebo sítě může být v obecném topologickém prostoru víceznačná. Platí však, že v Hausdorffově prostoru, je tato limita jednoznačná, t.j. každá síť má nejvýše jednu limitu.

Příklady

Graf funkce \(\scriptstyle f(x) = \frac{\sin(x)}{x}\). Je vidět, že tato funkce má limitu 1 v bodě nula.

Graf funkce \(\scriptstyle f(x) = \frac{1}{x} \). Je vidět, že tato funkce nemá limitu v bodě nula a má vlastní limity 0 v \(\scriptstyle \pm \infty\).

Graf funkce \(\scriptstyle f(x) = \frac{1}{x^2}\). Je vidět, že tato funkce má nevlastní limitu \(\scriptstyle +\infty \,\!\) v bodě nula a má vlastní limity 0 v \(\scriptstyle \pm \infty\).

Funkce \({\sin x}\over x \,\!\) není v nule definovaná, ale má v ní limitu 1^{[pozn 1]} (vlastní limita ve vlastním bodě) a v \(+\infty \,\!\) má limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě).
Funkce \({\sin x} \,\!\) je v nule spojitá (limita je 0) a v \(+\infty \,\!\) limitu nemá. Obě tato tvrzení platí i o funkci \({x \cdot \sin x} \,\!\)
Funkce \({\sin {1\over x}} \,\!\) ani \({\sin {1\over x}}\over x \,\!\) v nule limitu nemají. Totéž platí i o funkcích \({1\over x}\,\!\) či \({1\over x^3}\,\!\), ovšem ty mají alespoň jednostranné limity: jejich pravostranná limita je \(+\infty \,\!\) a levostranná \(-\infty \,\!\). Naproti tomu funkce \({1\over x^2}\,\!\) a \({1\over x^4}\,\!\) mají v nule limitu \(+\infty \,\!\) (nevlastní limita ve vlastním bodě).
Funkce \(e^x\,\!\) má v \(-\infty \,\!\) limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě) a v \(+\infty \,\!\) limitu \(+\infty \,\!\).

Poznámky

↑ To lze intuitivně zdůvodnit tak, že funkce sin x má v okolí nuly "velmi podobný" průběh, jako funkce f(x) = x; proto se jejich poměr blíží k jedné.

Související články

Reference

↑ Michael C. Gemignani, Elementary topology, Courier Dover Publications, 1990 (strana 122, def. 3)

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

[1] To lze intuitivně zdůvodnit tak, že funkce sin x má v okolí nuly "velmi podobný" průběh, jako funkce f(x) = x; proto se jejich poměr blíží k jedné.

[0] Michael C. Gemignani, Elementary topology, Courier Dover Publications, 1990 (strana 122, def. 3)

[1]

[pozn 1]

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
 :''Tento článek pojednává o limitě funkce nebo zobrazení. O limitě a kolimitě v teorii kategorií je článek [[Limita (teorie kategorií)]]''
-'''Limita''' je [[matematika|matematická]] konstrukce, vyjadřující, že se hodnoty zadané [[posloupnost]]i nebo [[funkce (matematika)|funkce]] blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se u funkcí zapisuje <math>\lim_{z\rightarrow z_0} f(z)=a</math> a u posloupností <math>\lim_{n\to\infty} a_n=a</math> případně <math>a _n \to a\,</math>.
+'''Limita''' je [[matematika|matematická]] konstrukce, vyjadřující, že se hodnoty zadané [[posloupnost]]i nebo [[funkce (matematika)|funkce]] blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se u funkcí zapisuje <big>\(\lim_{z\rightarrow z_0} f(z)=a\)</big> a u posloupností <big>\(\lim_{n\to\infty} a_n=a\)</big> případně <big>\(a _n \to a\,\)</big>.
 Dle toho, zda se uvažuje o posloupnosti nebo o funkci, hovoříme o [[limita posloupnosti|limitě posloupnosti]] nebo [[limita funkce|limitě funkce]]. Pojem limity lze definovat na libovolném [[metrický prostor|metrickém prostoru]].
 == Limita posloupnosti ==
 {{Hlavní článek|Limita posloupnosti}}
-[[Posloupnost (matematika)|Posloupnost]] <math>\left( a_n \right) _{n=1} ^\infty</math> má ''limitu A'', pokud se jejími hodnotami můžeme k A libovolně přiblížit. Tedy pro každé kladné číslo <math>\varepsilon</math> platí, že existuje nějaký člen posloupnosti, od kterého jsou už její hodnoty od ''A'' vzdáleny méně, než <math>\varepsilon</math>.
+[[Posloupnost (matematika)|Posloupnost]] <big>\(\left( a_n \right) _{n=1} ^\infty\)</big> má ''limitu A'', pokud se jejími hodnotami můžeme k A libovolně přiblížit. Tedy pro každé kladné číslo <big>\(\varepsilon\)</big> platí, že existuje nějaký člen posloupnosti, od kterého jsou už její hodnoty od ''A'' vzdáleny méně, než <big>\(\varepsilon\)</big>.
 Zapsáno symbolicky:
-:<math>\forall \varepsilon > 0: \exists n \in \mathbb{N} : \forall k \geq n : \left| a _k - A \right| < \varepsilon</math>
+:<big>\(\forall \varepsilon > 0: \exists n \in \mathbb{N} : \forall k \geq n : \left| a _k - A \right| < \varepsilon\)</big>
 == Limita funkce ==
 {{Hlavní článek|limita funkce}}
-Říkáme, že [[Funkce (matematika)|funkce]] ''f(x)'' má v bodě ''a limitu A'', jestliže k libovolnému <math>\epsilon >0</math> existuje takové <math>\delta > 0</math> , že pro všechna ''x'' z <math>\delta</math>-[[okolí (matematika)|okolí]] bodu ''a'', z něhož vyjmeme bod ''a'' (tzv. prstencová okolí bodu ''a'') je <math>\left| f(x)-A \right|< \epsilon, </math>.
+Říkáme, že [[Funkce (matematika)|funkce]] ''f(x)'' má v bodě ''a limitu A'', jestliže k libovolnému <big>\(\epsilon >0\)</big> existuje takové <big>\(\delta > 0\)</big> , že pro všechna ''x'' z <big>\(\delta\)</big>-[[okolí (matematika)|okolí]] bodu ''a'', z něhož vyjmeme bod ''a'' (tzv. prstencová okolí bodu ''a'') je <big>\(\left| f(x)-A \right|< \epsilon, \)</big>.
 == Limita vzhledem k podmnožině ==
 (Speciální případ: Pravostranná a levostranná limita)
 == Vlastní a nevlastní limita ==
-Limitou posloupnosti [[Rozšířená_reálná_čísla#Limita_posloupnosti|může být]] nejen číslo (tj. vlastní limita), ale i symbol <math>+\infty \,\!</math> nebo <math>-\infty \,\!</math> (nevlastní limita).
+Limitou posloupnosti [[Rozšířená_reálná_čísla#Limita_posloupnosti|může být]] nejen číslo (tj. vlastní limita), ale i symbol <big>\(+\infty \,\!\)</big> nebo <big>\(-\infty \,\!\)</big> (nevlastní limita).
-Limitu funkce [[Rozšířená_reálná_čísla#Limita_funkce|lze zkoumat]] ve vlastním bodě (v reálném čísle), tak i v [[Nevlastní bod|nevlastním bodě]] <math>+\infty \,\!</math> nebo <math>-\infty \,\!</math>. V obou případech může být limita vlastní, nevlastní nebo limita nemusí existovat.
+Limitu funkce [[Rozšířená_reálná_čísla#Limita_funkce|lze zkoumat]] ve vlastním bodě (v reálném čísle), tak i v [[Nevlastní bod|nevlastním bodě]] <big>\(+\infty \,\!\)</big> nebo <big>\(-\infty \,\!\)</big>. V obou případech může být limita vlastní, nevlastní nebo limita nemusí existovat.
 == Zobecnění pro topologické prostory ==
-Limita zobrazení <math>f: A\to B</math> mezi [[topologický prostor|topologickými prostory]] je v bodě ''a'' definována jako <math>b\in B</math> takové, že pro každé okolí ''O(b)'' bodu ''b'' existuje okolí ''O(a)'' bodu ''a'' takové, že <math>x\in O(a)</math> implikuje <math>f(x)\in O(b)</math>.
+Limita zobrazení <big>\(f: A\to B\)</big> mezi [[topologický prostor|topologickými prostory]] je v bodě ''a'' definována jako <big>\(b\in B\)</big> takové, že pro každé okolí ''O(b)'' bodu ''b'' existuje okolí ''O(a)'' bodu ''a'' takové, že <big>\(x\in O(a)\)</big> implikuje <big>\(f(x)\in O(b)\)</big>.
 Dalším zobecněním limity posloupnosti, funkce i zobrazení jsou limity [[Síť (topologie)|sítí]]<ref>Michael C. Gemignani, Elementary topology, Courier Dover Publications, 1990 (strana 122, def. 3)</ref>.
 Limita zobrazení nebo sítě může být v obecném topologickém prostoru víceznačná. Platí však, že v [[Hausdorffův prostor|Hausdorffově prostoru]], je tato limita jednoznačná, t.j. každá síť má nejvýše jednu limitu.
 === Příklady ===
 <gallery widths="240" heights="180">
-Soubor:Sinc function (unnormalized).png|Graf funkce <math>\scriptstyle f(x) = \frac{\sin(x)}{x}</math>. Je vidět, že tato funkce má limitu 1 v bodě nula.
+Soubor:Sinc function (unnormalized).png|Graf funkce <big>\(\scriptstyle f(x) = \frac{\sin(x)}{x}\)</big>. Je vidět, že tato funkce má limitu 1 v bodě nula.
-Soubor:Graph of function 1 to minus 1 in Neighbourhood of zero.png|Graf funkce <math>\scriptstyle f(x) = \frac{1}{x} </math>. Je vidět, že tato funkce nemá limitu v bodě nula a má vlastní limity 0 v <math>\scriptstyle \pm \infty</math>.
+Soubor:Graph of function 1 to minus 1 in Neighbourhood of zero.png|Graf funkce <big>\(\scriptstyle f(x) = \frac{1}{x} \)</big>. Je vidět, že tato funkce nemá limitu v bodě nula a má vlastní limity 0 v <big>\(\scriptstyle \pm \infty\)</big>.
-Soubor:1 to minus 2.png|Graf funkce <math>\scriptstyle f(x) = \frac{1}{x^2}</math>. Je vidět, že tato funkce má nevlastní limitu <math>\scriptstyle  +\infty \,\!</math> v bodě nula a má vlastní limity 0 v <math>\scriptstyle \pm \infty</math>.
+Soubor:1 to minus 2.png|Graf funkce <big>\(\scriptstyle f(x) = \frac{1}{x^2}\)</big>. Je vidět, že tato funkce má nevlastní limitu <big>\(\scriptstyle  +\infty \,\!\)</big> v bodě nula a má vlastní limity 0 v <big>\(\scriptstyle \pm \infty\)</big>.
 </gallery>
-* Funkce <math>{\sin x}\over x \,\!</math> není v nule definovaná, ale má v ní limitu 1<ref group=pozn>To lze intuitivně zdůvodnit tak, že funkce ''sin x'' má v okolí nuly "velmi podobný" průběh, jako funkce f(x) = x; proto se jejich poměr blíží k jedné.</ref> (vlastní limita ve vlastním bodě) a v <math>+\infty \,\!</math> má limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě).
+* Funkce <big>\({\sin x}\over x \,\!\)</big> není v nule definovaná, ale má v ní limitu 1<ref group=pozn>To lze intuitivně zdůvodnit tak, že funkce ''sin x'' má v okolí nuly "velmi podobný" průběh, jako funkce f(x) = x; proto se jejich poměr blíží k jedné.</ref> (vlastní limita ve vlastním bodě) a v <big>\(+\infty \,\!\)</big> má limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě).
-* Funkce <math>{\sin x} \,\!</math> je v nule [[Spojitá funkce|spojitá]] (limita je 0) a v <math>+\infty \,\!</math> limitu nemá. Obě tato tvrzení platí i o funkci <math>{x \cdot \sin x} \,\!</math>
+* Funkce <big>\({\sin x} \,\!\)</big> je v nule [[Spojitá funkce|spojitá]] (limita je 0) a v <big>\(+\infty \,\!\)</big> limitu nemá. Obě tato tvrzení platí i o funkci <big>\({x \cdot \sin x} \,\!\)</big>
-* Funkce <math>{\sin {1\over x}} \,\!</math> ani <math>{\sin {1\over x}}\over x \,\!</math> v nule limitu nemají. Totéž platí i o funkcích <math>{1\over x}\,\!</math> či <math>{1\over x^3}\,\!</math>, ovšem ty mají alespoň jednostranné limity: jejich pravostranná limita je <math>+\infty \,\!</math> a levostranná <math>-\infty \,\!</math>. Naproti tomu funkce <math>{1\over x^2}\,\!</math> a <math>{1\over x^4}\,\!</math> mají v nule limitu <math>+\infty \,\!</math> (nevlastní limita ve vlastním bodě).
+* Funkce <big>\({\sin {1\over x}} \,\!\)</big> ani <big>\({\sin {1\over x}}\over x \,\!\)</big> v nule limitu nemají. Totéž platí i o funkcích <big>\({1\over x}\,\!\)</big> či <big>\({1\over x^3}\,\!\)</big>, ovšem ty mají alespoň jednostranné limity: jejich pravostranná limita je <big>\(+\infty \,\!\)</big> a levostranná <big>\(-\infty \,\!\)</big>. Naproti tomu funkce <big>\({1\over x^2}\,\!\)</big> a <big>\({1\over x^4}\,\!\)</big> mají v nule limitu <big>\(+\infty \,\!\)</big> (nevlastní limita ve vlastním bodě).
-* Funkce <math>e^x\,\!</math> má v <math>-\infty \,\!</math> limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě) a v <math>+\infty \,\!</math> limitu <math>+\infty \,\!</math>.
+* Funkce <big>\(e^x\,\!\)</big> má v <big>\(-\infty \,\!\)</big> limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě) a v <big>\(+\infty \,\!\)</big> limitu <big>\(+\infty \,\!\)</big>.
 == Poznámky ==
 <references group="pozn"/>