Vážení zákazníci a čtenáři – od 28. prosince do 2. ledna máme zavřeno.
Přejeme Vám krásné svátky a 52 týdnů pohody a štěstí v roce 2025 !

Faktoriál

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Nejsou zobrazeny 2 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Faktoriál|700}}
+
V [[matematika|matematice]] je '''faktoriál''' čísla ''n'' (značeno pomocí [[vykřičník]]u: '''''n''!''') číslo, rovné součinu všech [[kladné číslo|kladných]] [[celé číslo|celých čísel]] menších nebo rovných ''n'', pokud je ''n'' kladné a 1 pokud ''n = 0''. Značení ''n''! vyslovujeme jako „''n'' faktoriál“. Toto značení zavedl Christian&nbsp;Kramp v&nbsp;roce 1808.
-
{{FlickrTag|factorial}}
+
{|class="wikitable" style="float: right; margin-left: 1em" cellspacing="0"
 +
! <big>\(n\)</big>
 +
! <big>\(n!\)</big>
 +
|-
 +
| 0 || 1
 +
|-
 +
| 1 || 1
 +
|-
 +
| 2 || 2
 +
|-
 +
| 3 || 6
 +
|-
 +
| 4 || 24
 +
|-
 +
| 5 || 120
 +
|-
 +
| 6 || 720
 +
|-
 +
| 7 || 5&nbsp;040
 +
|-
 +
| 8 || 40&nbsp;320
 +
|-
 +
| 9 || 362&nbsp;880
 +
|-
 +
| 10 || 3&nbsp;628&nbsp;800
 +
|-
 +
| 15 || 1&nbsp;307&nbsp;674&nbsp;368&nbsp;000
 +
|-
 +
| 20 || 2&nbsp;432&nbsp;902&nbsp;008&nbsp;176&nbsp;640&nbsp;000
 +
|-
 +
| 25 || 15&nbsp;511&nbsp;210&nbsp;043&nbsp;330&nbsp;985&nbsp;984&nbsp;000&nbsp;000
 +
|-
 +
| 50 || 3,041&nbsp;409&nbsp;32… × 10<sup>64</sup>
 +
|-
 +
| 70 || 1,197&nbsp;857&nbsp;17… × [[googol|10<sup>100</sup>]]
 +
|-
 +
| 100 || 9.3326215444{{e|157}}
 +
|-
 +
| 171 || 1.2410180702{{e|309}}
 +
|-
 +
| 450 || 1,733&nbsp;368&nbsp;73… × 10<sup>1&nbsp;000</sup>
 +
|-
 +
| 1,000 || 4.0238726008 × 10<sup>2,567</sup>
 +
|-
 +
| 3&nbsp;249 || 6,412&nbsp;337&nbsp;68… × 10<sup>10&nbsp;000</sup>
 +
|-
 +
| 25&nbsp;206 || 1,205&nbsp;703&nbsp;438… × 10<sup>100&nbsp;000</sup>
 +
|-
 +
| 47&nbsp;176 || 8,448&nbsp;573&nbsp;149&nbsp;5… × 10<sup>200&nbsp;001</sup>
 +
|-
 +
| 100&nbsp;000 || 2,824&nbsp;229&nbsp;407&nbsp;9… × 10<sup>456&nbsp;573</sup>
 +
|-
 +
| 200&nbsp;000 || 1,420&nbsp;225&nbsp;345&nbsp;47… × 10<sup>973&nbsp;350</sup>
 +
|-
 +
| 205,023 || 2.5038989317 × 10<sup>1,000,004</sup>
 +
|-
 +
| 300&nbsp;000 || 1,477&nbsp;391&nbsp;531&nbsp;738… × 10<sup>1&nbsp;512&nbsp;851</sup>
 +
|-
 +
| 1&nbsp;000&nbsp;000 || 8,263&nbsp;931&nbsp;688&nbsp;3… × 10<sup>5&nbsp;565&nbsp;708</sup>
 +
|-
 +
| 1.0248383838{{e|98}} || [[googolplex|10<sup>1.0000000000{{e|100}}</sup>]]
 +
|-
 +
| [[googol|1{{e|100}}]] || 10<sup>9.9565705518{{e|101}}</sup>
 +
|-
 +
| 1.7976931349{{e|308}} || 10<sup>5.5336665775{{e|310}}</sup>
 +
|}
 +
 
 +
== Definice ==
 +
Faktoriál je formálně definován takto:
 +
:<big>\(n! = 1 \cdot 2 \dotsb n = \prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{pro }n \ge 0\)</big>
 +
 
 +
Například:
 +
:<big>\(5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120\)</big>
 +
 
 +
Jako speciální případ prázdného součinu platí, že
 +
:<big>\(0! = 1\)</big>
 +
 
 +
Zobecněním faktoriálu pro obor [[komplexní číslo|komplexních čísel]] je [[gama funkce]], používaná v mnoha oblastech matematiky, například ve [[statistika|statistice]]:
 +
:<big>\(z! = \Gamma(z+1) = \int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt\)</big>
 +
 
 +
Ačkoliv uvedený [[integrál]] konverguje pouze pro <big>\(\operatorname{Re}\, z > -1\)</big>, lze zobecněný faktoriál [[holomorfní rozšíření|holomorfně rozšířit]] na celou [[komplexní rovina|komplexní rovinu]] kromě celých záporných čísel (−1, −2, …).
 +
 
 +
Posloupnost faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná
 +
:1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, …
 +
 
 +
== Využití ==
 +
Faktoriály se hojně vyskytují v [[kombinatorika|kombinatorice]]. Faktoriál čísla ''n'' udává počet [[permutace|permutací]] množiny ''n'' prvků, tzn. počet způsobů, jak seřadit ''n'' různých objektů.
 +
 
 +
Pomocí faktoriálů lze také spočítat [[kombinační číslo]]:
 +
:<big>\({n\choose k} = {n!\over k!(n-k)!}\)</big>
 +
 
 +
== Vlastnosti ==
 +
Faktoriál je velice rychle rostoucí funkce. Jeho přibližnou hodnotu pro velká ''n'' lze vypočítat [[Stirlingův vzorec|Stirlingovým vzorcem]]:
 +
 
 +
:<big>\(n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\)</big>
 +
 
 +
== Dvojitý faktoriál, multifaktoriál ==
 +
Kromě běžného faktoriálu je možné definovat také '''dvojitý faktoriál''', značený ''n''!!, ve kterém se činitelé snižují po dvou namísto po jedné. Je možno ho rekurzivně definovat jako
 +
:<big>\(n!!= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\quad\ &&\mbox{pro }n=0\mbox{ nebo }n=1; \\ n(n-2)!!&&\mbox{pro }n\ge2.\qquad\qquad \end{matrix} \right.\)</big>
 +
 
 +
Například <big>\(8!! = 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 384\)</big>,nebo <big>\(9!! = 9 \cdots 7 \cdots 5 \cdots 3 \cdots 1 = 945\)</big>.
 +
 
 +
Posloupnost dvojitých faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná
 +
:1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, …
 +
 
 +
I dvojitý faktoriál váže vztahy ke gama funkci, např.
 +
:<big>\(\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt\pi{(2n-1)!!\over2^n}\)</big>
 +
 
 +
Kromě dvojitého faktoriálu lze tuto ideu dále zobecnit na (již nepříliš používané) '''multifaktoriály''' ''n''!!!, ''n''!!!! atd. (obecně ''n''!<sup>(''k'')</sup>).
 +
 
 +
== Související články ==
 +
* [[Taylorova řada]]
 +
== Externí odkazy ==
 +
* [http://mathworld.wolfram.com/Factorial.html Faktoriál v encyklopedii MathWorld]
 +
* [http://www.elektro-energetika.cz/new/calculations/faktorial.php Online výpočet faktoriálu] až 40000! na všechna platná místa 
 +
 
 +
 
 +
{{FlickrTag|Factorial}}{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Matematické funkce]]
[[Kategorie:Matematické funkce]]
[[Kategorie:Kombinatorika]]
[[Kategorie:Kombinatorika]]
[[Kategorie:Teorie čísel]]
[[Kategorie:Teorie čísel]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

V matematice je faktoriál čísla n (značeno pomocí vykřičníku: n!) číslo, rovné součinu všech kladných celých čísel menších nebo rovných n, pokud je n kladné a 1 pokud n = 0. Značení n! vyslovujeme jako „n faktoriál“. Toto značení zavedl Christian Kramp v roce 1808.

\(n\) \(n!\)
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5 040
8 40 320
9 362 880
10 3 628 800
15 1 307 674 368 000
20 2 432 902 008 176 640 000
25 15 511 210 043 330 985 984 000 000
50 3,041 409 32… × 1064
70 1,197 857 17… × 10100
100 9.3326215444×10157
171 1.2410180702×10309
450 1,733 368 73… × 101 000
1,000 4.0238726008 × 102,567
3 249 6,412 337 68… × 1010 000
25 206 1,205 703 438… × 10100 000
47 176 8,448 573 149 5… × 10200 001
100 000 2,824 229 407 9… × 10456 573
200 000 1,420 225 345 47… × 10973 350
205,023 2.5038989317 × 101,000,004
300 000 1,477 391 531 738… × 101 512 851
1 000 000 8,263 931 688 3… × 105 565 708
1.0248383838×1098 101.0000000000×10100
1×10100 109.9565705518×10101
1.7976931349×10308 105.5336665775×10310

Obsah

Definice

Faktoriál je formálně definován takto:

\(n! = 1 \cdot 2 \dotsb n = \prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{pro }n \ge 0\)

Například:

\(5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120\)

Jako speciální případ prázdného součinu platí, že

\(0! = 1\)

Zobecněním faktoriálu pro obor komplexních čísel je gama funkce, používaná v mnoha oblastech matematiky, například ve statistice:

\(z! = \Gamma(z+1) = \int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt\)

Ačkoliv uvedený integrál konverguje pouze pro \(\operatorname{Re}\, z > -1\), lze zobecněný faktoriál holomorfně rozšířit na celou komplexní rovinu kromě celých záporných čísel (−1, −2, …).

Posloupnost faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, …

Využití

Faktoriály se hojně vyskytují v kombinatorice. Faktoriál čísla n udává počet permutací množiny n prvků, tzn. počet způsobů, jak seřadit n různých objektů.

Pomocí faktoriálů lze také spočítat kombinační číslo:

\({n\choose k} = {n!\over k!(n-k)!}\)

Vlastnosti

Faktoriál je velice rychle rostoucí funkce. Jeho přibližnou hodnotu pro velká n lze vypočítat Stirlingovým vzorcem:

\(n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\)

Dvojitý faktoriál, multifaktoriál

Kromě běžného faktoriálu je možné definovat také dvojitý faktoriál, značený n!!, ve kterém se činitelé snižují po dvou namísto po jedné. Je možno ho rekurzivně definovat jako

\(n!!= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\quad\ &&\mbox{pro }n=0\mbox{ nebo }n=1; \\ n(n-2)!!&&\mbox{pro }n\ge2.\qquad\qquad \end{matrix} \right.\)

Například \(8!! = 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 384\),nebo \(9!! = 9 \cdots 7 \cdots 5 \cdots 3 \cdots 1 = 945\).

Posloupnost dvojitých faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, …

I dvojitý faktoriál váže vztahy ke gama funkci, např.

\(\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt\pi{(2n-1)!!\over2^n}\)

Kromě dvojitého faktoriálu lze tuto ideu dále zobecnit na (již nepříliš používané) multifaktoriály n!!!, n!!!! atd. (obecně n!(k)).

Související články

Externí odkazy


Flickr.com nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Faktoriál
Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Faktori%C3%A1l“