Substituce (matematika)

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Substituce je nahrazení složitějších výrazů jednoduššími výrazy. Používá se u složitých výrazů a výpočet je pak jednodušší (snadnější). ^[1]

Obsah

[skrýt]

1 Ukázky řešení příkladu
- 1.1 Exponenciální rovnice
- 1.2 Goniometrická rovnice
2 Související články
3 Reference

Ukázky řešení příkladu

Exponenciální rovnice

Řešení exponenciální rovnice pomocí substituce:

$2^{2 x} + 2^{x} - 6 = 0$
Zavedeme substituci $a = 2^{x}$ :
$a^{2} + a - 6 = 0$
Vypočítáme kvadratickou rovnici:
$a_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1} = \frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{- 1 \pm 5}{2}$

$a_{1} = \frac{- 1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$a_{2} = \frac{- 1 - 5}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$
Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
1. $2 = 2^{x}$
2. $- 3 = 2^{x}$
Vyřešíme obě rovnice:
1. $2 = 2^{x}$
  1. Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo $2$ se dá napsat jako $2^{1}$ :
    $2^{1} = 2^{x}$
  2. $1 = x$
  3. Výsledek je:
    $x = 1$
    Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce.
2. $- 3 = 2^{x}$
  Rovnici bychom řešili pomocí logaritmu, ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit.

Goniometrická rovnice

Řešení goniometrické rovnice pomocí substituce:

$(\sin x)^{2} + 2 \sin x - 3 = 0$
Zavedeme substituci $a = \sin x$ :
$a^{2} + 2 a - 3 = 0$
Vypočítáme kvadratickou rovnici:
$a_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1} = \frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{- 2 \pm 4}{2}$

$a_{1} = \frac{- 2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$a_{2} = \frac{- 2 - 4}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$
Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
1. $\sin x = 1$
2. $\sin x = - 3$
Vyřešíme obě rovnice:
1. $\sin x = 1$
  $x = \frac{1}{2} π + 2 k π$
2. $\sin x = - 3$
  $x = ϕ$
  Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.

Související články

Substituční metoda (integrování)

Reference

↑ Substituce - definice

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

[0] Substituce - definice

[1]

@@ Řádka 6: / Řádka 6: @@
 === Exponenciální rovnice ===
 Řešení [[exponenciální rovnice]] pomocí '''substituce''':
-# <math>2^{2x} + 2^{x} - 6 = 0</math>
+# <big>\(2^{2x} + 2^{x} - 6 = 0\)</big>
-# Zavedeme substituci <math>a = 2^{x}</math>:<br /><math>a^{2} + a - 6 = 0</math>
+# Zavedeme substituci <big>\(a = 2^{x}\)</big>:<br /><big>\(a^{2} + a - 6 = 0\)</big>
-# Vypočítáme kvadratickou rovnici:<br /><math>a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}</math><br /><br /><math>a_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2</math><br /><br /><math>a_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3</math>
+# Vypočítáme kvadratickou rovnici:<br /><big>\(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}\)</big><br /><br /><big>\(a_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\)</big><br /><br /><big>\(a_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)</big>
 # Nyní si můžeme napsat 2 [[rovnice]]:
-## <math>2 = 2^x</math>
+## <big>\(2 = 2^x\)</big>
-## <math>-3 = 2^x</math>
+## <big>\(-3 = 2^x\)</big>
 # Vyřešíme obě [[rovnice]]:
-## <math>2 = 2^x</math>
+## <big>\(2 = 2^x\)</big>
-### Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo <math>2</math> se dá napsat jako <math>2^1</math>:<br /><math>2^1 = 2^x</math>
+### Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo <big>\(2\)</big> se dá napsat jako <big>\(2^1\)</big>:<br /><big>\(2^1 = 2^x\)</big>
-### <math>1 = x</math>
+### <big>\(1 = x\)</big>
-### Výsledek je:<br /><math>x = 1</math><br />Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce.
+### Výsledek je:<br /><big>\(x = 1\)</big><br />Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce.
-## <math>-3 = 2^x</math><br />Rovnici bychom řešili pomocí [[Logaritmus|logaritmu]], ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit.
+## <big>\(-3 = 2^x\)</big><br />Rovnici bychom řešili pomocí [[Logaritmus|logaritmu]], ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit.
 === Goniometrická rovnice ===
 Řešení [[goniometrické rovnice]] pomocí '''substituce''':
-# <math>(\sin x)^2 + 2\sin x - 3 = 0</math>
+# <big>\((\sin x)^2 + 2\sin x - 3 = 0\)</big>
-# Zavedeme substituci <math>a = \sin x</math>:<br /><math>a^{2} + 2a - 3 = 0</math>
+# Zavedeme substituci <big>\(a = \sin x\)</big>:<br /><big>\(a^{2} + 2a - 3 = 0\)</big>
-# Vypočítáme kvadratickou rovnici:<br /><math>a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}</math><br /><br /><math>a_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1</math><br /><br /><math>a_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3</math>
+# Vypočítáme kvadratickou rovnici:<br /><big>\(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}\)</big><br /><br /><big>\(a_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1\)</big><br /><br /><big>\(a_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)</big>
 # Nyní si můžeme napsat 2 [[rovnice]]:
-## <math>\sin x = 1</math>
+## <big>\(\sin x = 1\)</big>
-## <math>\sin x = -3</math>
+## <big>\(\sin x = -3\)</big>
 # Vyřešíme obě [[rovnice]]:
-## <math>\sin x = 1</math><br /><math>x = \frac{1}{2}\pi + 2k\pi</math>
+## <big>\(\sin x = 1\)</big><br /><big>\(x = \frac{1}{2}\pi + 2k\pi\)</big>
-## <math>\sin x = -3</math><br /><math>x = \phi</math><br />Tím je vyřešená [[goniometrická rovnice]] pomocí substituce.
+## <big>\(\sin x = -3\)</big><br /><big>\(x = \phi\)</big><br />Tím je vyřešená [[goniometrická rovnice]] pomocí substituce.
 == Související články ==