Základní věta algebry

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:54

Základní věta algebry (též označovaná jako Fundamentální věta algebry^[1]) je důležité matematické tvrzení, které má fundamentální význam v algebře, ale podstatnou roli hraje i v dalších odvětvích matematiky. Říká, že každý polynom s komplexními koeficienty stupně \(n \geq 1\) má alespoň jeden komplexní kořen. Nejstarší publikovaný důkaz pochází od Jean-Robert Arganda z roku 1806.

Obsah

1 Přesné znění
2 Důkazy
- 2.1 Komplexně analytický důkaz
3 Důsledky
4 Související články
5 Reference
6 Externí odkazy

Přesné znění

Nechť \(P(x)=a_n\cdot x^n + \ldots + a_0\) je polynom s koeficienty \(a_0,\ldots,a_n\in\mathbb{C},\; a_n\neq 0\) stupně \(\,n\geq 1\). Pak existuje číslo \(\,a\in\mathbb{C}\), že \(\,P(a)=0\).

Důkazy

Ačkoli je základní věta algebry čistě algebraickým tvrzením, není dosud znám žádný čistě algebraický důkaz. Všechny známé důkazy této věty využívají více či méně metod matematické analýzy.

Komplexně analytický důkaz

Základní věta algebry je snadným důsledkem Liouvillovy věty z komplexní analýzy:

(Věta Liouville) Je-li f holomorfní omezená funkce na \(\mathbb{C}\), pak f je konstantní.

Dále dokazujme sporem. Nechť nějaký polynom P(x) s komplexními koeficienty a nenulového stupně nemá komplexní kořen. Pak funkce g(x) daná předpisem \(g(x)=\frac{1}{P(x)}\) je definována na celém \(\mathbb{C}\). Dále jistě v komplexní rovině existuje kruh K se středem v nule takový, že \(|P(x)|\geq 1\) pro x ležící mimo K. Protože |P(x)| je spojitá funkce nenulová na K a K je kompaktní, existuje \(\,\varepsilon>0\), že \(\,|P(x)|>\varepsilon\) pro x z K. Potom \(|g(x)|<\max(1,\frac{1}{\varepsilon})\) pro každé \(x\in\mathbb{C}\). Tedy g(x) je omezená na \(\mathbb{C}\) a holomorfní je zřejmě. Podle Liouvillovy věty tedy je g(x) konstantní a tedy i P(x) je konstantní, což je spor.

Důsledky

Těleso komplexních čísel je algebraicky uzavřené.
Polynom s komplexními koeficienty stupně \(n\geq 1\) má v komplexní rovině právě n kořenů (počítáme-li každý kořen tolikrát, kolik je jeho násobnost).
Každý polynom s reálnými koeficienty lze zapsat jako součin konstanty, a monických ireducibilních polynomů (v \(\mathbb{R}\)) stupňů jedna a dva.
Každou racionální funkci lze rozložit na součet parciálních zlomků.

Související články

Reference

↑ P. Olšák, Úvod do algebry, zejména lineární, 2007, FEL ČVUT Praha, ISBN 978-80-01-03775-1

A.-L. Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1^ère partie: Analyse Algébrique, 1992, Éditions Jacques Gabay, ISBN 2-87647-053-5

B. Fine and G. Rosenberger, The Fundamental Theorem of Algebra, 1997, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94657-8

C. F. Gauss, “New Proof of the Theorem That Every Algebraic Rational Integral Function In One Variable can be Resolved into Real Factors of the First or the Second Degree”, 1799

C. Gilain, “Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral”, Archive for History of Exact Sciences, 42 (1991), 91–13

H. Kneser, “Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus”, Mathematische Zeitschrift, 46 (1940), 287–302, podívejte se také na: M. Kneser: “Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra”, Mathematische Zeitschrift, 177 (1981) 285–287

E. Netto and R. Le Vavasseur, “Les fonctions rationnelles §80–88: Le théorème fondamental”, in Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, tome I, vol. 2, 1992, Éditions Jacques Gabay, ISBN 2-87647-101-9

R. Remmert, “The Fundamental Theorem of Algebra”, v Numbers, 1991, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97497-0

D. E. Smith, “A Source Book in Mathematics”, 1959, Dover Publications, ISBN 0-486-64690-4

M. Spivak, Calculus, 1994, Publish or Perish, ISBN 0-914098-89-6

B. L. van der Waerden, Algebra I, 1991, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97424-5

Externí odkazy

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

[0] P. Olšák, Úvod do algebry, zejména lineární, 2007, FEL ČVUT Praha, ISBN 978-80-01-03775-1

[1]

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-'''Základní věta algebry''' (též označovaná jako Fundamentální věta algebry<ref>P. Olšák, Úvod do algebry, zejména lineární, 2007, FEL ČVUT Praha, ISBN 978-80-01-03775-1</ref>) je důležité [[matematika|matematické]] [[tvrzení (matematika)|tvrzení]], které má fundamentální význam v [[algebra|algebře]], ale podstatnou roli hraje i v dalších odvětvích matematiky. Říká, že každý [[polynom]] s [[komplexní číslo|komplexními]] koeficienty [[stupeň polynomu|stupně]] <math>n \geq 1</math> má alespoň jeden komplexní [[Kořen rovnice|kořen]]. Nejstarší publikovaný [[Matematický důkaz|důkaz]] pochází od Jean-Robert Arganda z roku 1806.
+'''Základní věta algebry''' (též označovaná jako Fundamentální věta algebry<ref>P. Olšák, Úvod do algebry, zejména lineární, 2007, FEL ČVUT Praha, ISBN 978-80-01-03775-1</ref>) je důležité [[matematika|matematické]] [[tvrzení (matematika)|tvrzení]], které má fundamentální význam v [[algebra|algebře]], ale podstatnou roli hraje i v dalších odvětvích matematiky. Říká, že každý [[polynom]] s [[komplexní číslo|komplexními]] koeficienty [[stupeň polynomu|stupně]] <big>\(n \geq 1\)</big> má alespoň jeden komplexní [[Kořen rovnice|kořen]]. Nejstarší publikovaný [[Matematický důkaz|důkaz]] pochází od Jean-Robert Arganda z roku 1806.
 == Přesné znění ==
-Nechť <math>P(x)=a_n\cdot x^n + \ldots + a_0</math> je polynom s koeficienty <math>a_0,\ldots,a_n\in\mathbb{C},\; a_n\neq 0</math> stupně <math>\,n\geq 1</math>. Pak existuje číslo <math>\,a\in\mathbb{C}</math>, že <math>\,P(a)=0</math>.
+Nechť <big>\(P(x)=a_n\cdot x^n + \ldots + a_0\)</big> je polynom s koeficienty <big>\(a_0,\ldots,a_n\in\mathbb{C},\; a_n\neq 0\)</big> stupně <big>\(\,n\geq 1\)</big>. Pak existuje číslo <big>\(\,a\in\mathbb{C}\)</big>, že <big>\(\,P(a)=0\)</big>.
 == Důkazy ==
@@ Řádka 9: / Řádka 9: @@
 === Komplexně analytický důkaz ===
 Základní věta algebry je snadným důsledkem [[Liouvillova věta (komplexní analýza)|Liouvillovy věty]] z [[komplexní analýza|komplexní analýzy]]:
-:(Věta [[Joseph Liouville|Liouville]]) ''Je-li ''f'' [[holomorfní funkce|holomorfní]] [[omezená funkce]] na <math>\mathbb{C}</math>, pak ''f'' je [[konstantní funkce|konstantní]].''
+:(Věta [[Joseph Liouville|Liouville]]) ''Je-li ''f'' [[holomorfní funkce|holomorfní]] [[omezená funkce]] na <big>\(\mathbb{C}\)</big>, pak ''f'' je [[konstantní funkce|konstantní]].''
-Dále dokazujme [[důkaz sporem|sporem]]. Nechť nějaký polynom ''P(x)'' s komplexními koeficienty a nenulového stupně nemá komplexní kořen. Pak funkce ''g(x)'' daná předpisem <math>g(x)=\frac{1}{P(x)}</math> je definována na celém <math>\mathbb{C}</math>. Dále jistě v [[komplexní rovina|komplexní rovině]] existuje [[Kruh (geometrie)|kruh]] ''K'' se středem v nule takový, že <math>|P(x)|\geq 1</math> pro ''x'' ležící mimo ''K''. Protože ''|P(x)|'' je [[spojitá funkce]] nenulová na ''K'' a ''K'' je [[kompaktní množina|kompaktní]], existuje <math>\,\varepsilon>0</math>, že <math>\,|P(x)|>\varepsilon</math> pro ''x'' z ''K''. Potom <math>|g(x)|<\max(1,\frac{1}{\varepsilon})</math> pro každé <math>x\in\mathbb{C}</math>. Tedy ''g(x)'' je omezená na <math>\mathbb{C}</math> a holomorfní je zřejmě. Podle Liouvillovy věty tedy je ''g(x)'' konstantní a tedy i ''P(x)'' je konstantní, což je spor.
+Dále dokazujme [[důkaz sporem|sporem]]. Nechť nějaký polynom ''P(x)'' s komplexními koeficienty a nenulového stupně nemá komplexní kořen. Pak funkce ''g(x)'' daná předpisem <big>\(g(x)=\frac{1}{P(x)}\)</big> je definována na celém <big>\(\mathbb{C}\)</big>. Dále jistě v [[komplexní rovina|komplexní rovině]] existuje [[Kruh (geometrie)|kruh]] ''K'' se středem v nule takový, že <big>\(|P(x)|\geq 1\)</big> pro ''x'' ležící mimo ''K''. Protože ''|P(x)|'' je [[spojitá funkce]] nenulová na ''K'' a ''K'' je [[kompaktní množina|kompaktní]], existuje <big>\(\,\varepsilon>0\)</big>, že <big>\(\,|P(x)|>\varepsilon\)</big> pro ''x'' z ''K''. Potom <big>\(|g(x)|<\max(1,\frac{1}{\varepsilon})\)</big> pro každé <big>\(x\in\mathbb{C}\)</big>. Tedy ''g(x)'' je omezená na <big>\(\mathbb{C}\)</big> a holomorfní je zřejmě. Podle Liouvillovy věty tedy je ''g(x)'' konstantní a tedy i ''P(x)'' je konstantní, což je spor.
 == Důsledky ==
 * [[Těleso (algebra)|Těleso]] komplexních čísel je [[algebraicky uzavřené těleso|algebraicky uzavřené]].
-* Polynom s komplexními koeficienty stupně <math>n\geq 1</math> má v komplexní rovině právě ''n'' kořenů (počítáme-li každý kořen tolikrát, kolik je jeho násobnost).
+* Polynom s komplexními koeficienty stupně <big>\(n\geq 1\)</big> má v komplexní rovině právě ''n'' kořenů (počítáme-li každý kořen tolikrát, kolik je jeho násobnost).
-* Každý polynom s [[reálné číslo|reálnými]] koeficienty lze zapsat jako součin konstanty, a [[monický polynom|monických]] [[ireducibilní polynom|ireducibilních polynomů]] (v <math>\mathbb{R}</math>) stupňů jedna a dva.
+* Každý polynom s [[reálné číslo|reálnými]] koeficienty lze zapsat jako součin konstanty, a [[monický polynom|monických]] [[ireducibilní polynom|ireducibilních polynomů]] (v <big>\(\mathbb{R}\)</big>) stupňů jedna a dva.
 * Každou [[racionální funkce|racionální funkci]] lze rozložit na součet [[parciální zlomky|parciálních zlomků]].