Polární soustava souřadnic

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Polární soustava souřadnic je taková soustava souřadnic v rovině, u které jedna souřadnice (označovaná \(r\)) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná \(\varphi\)) udává úhel spojnice tělesa a počátku od zvolené osy ležící v rovině (nejčastěji jí odpovídá osa \(x\) kartézských souřadnic). Jedná se o ortogonální soustavu souřadnic s Lamého koeficienty

\(h_r = 1 \quad h_{\varphi} = r\).

Polární soustava souřadnic je vhodná v případech takových pohybů, při nichž se nemění vzdálenost tělesa od jednoho bodu (počátku souřadnic), například u pohybu po kružnici, případně se tato vzdálost mění s nějakou jednoduchou závislostí.

Souřadnicová síť v polárních souřadnicích

Bod v polární soustavě souřadnic

Ukázka dvou bodů v polárních souřadnicích: [r=3; φ=60°] a [r=4; φ=210°]

Ukázka převodu polárních souřadnic [r; φ] na kartézské [x; y]

Transformace polárních souřadnic na kartézské:

\(x = r \cos{\varphi}\,\)

\(y = r \sin{\varphi}\,\)

Převod kartézských souřadnic na polární:

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)

\(\varphi = \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)\)

Tato převodní funkce však funguje jen na intervalu \(\varphi \in \langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle\) - pro jiné intervaly bychom museli změnit znaménko funkce arctg(x). Abychom mohli popsat inverzi pro daný úhel na celém jeho definičním intervalu, bývá často používána funkce arctg2(y,x) definovaná jako

\(\operatorname{arctg2}(y,x) = \left\{\begin{matrix}

\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right),\ \ \ \ \ \ & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y>0), \\ \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + \pi,\ & \mbox{je-li } (x<0), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + 2\pi, & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y<0), \\ \end{matrix}\right.\)

Převod kartézských souřadnic na polární má potom zápis:

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)

\(\varphi = \operatorname{arctg2}\left(y,x\right)\)

Metrické vlastnosti

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

\(\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\varphi^2,\)

tedy délka křivky obecně jako

\(\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2

           +r^2\left(\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2}}\mathrm{d}t,\)

kde t je parametr dané křivky a s je její délka od \(t_1\) do \(t_2\).

Obsah infinitesimálního elementu plochy spočteme jako

\(\mathrm{d}S=r \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi,\)

takže celkový obsah spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou v polárních souřadnicích.

Afinní konexe jsou dány vztahy

\({\Gamma^r}_{rr}={\Gamma^\varphi}_{\varphi\varphi}=

{\Gamma^r}_{r\varphi}={\Gamma^r}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{rr}=0\)

\({\Gamma^\varphi}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{r \varphi} = \frac{1}{r}\)

\({\Gamma^r}_{\varphi \varphi}= -r\)

Diferenciální operátory v polárních souřadnicích

\(\nabla f =

 + {1 \over  r }{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi} 

\)

\(\nabla \cdot \mathbf{A} =

 + {1 \over  r }{\partial A_\varphi \over \partial \varphi} 

\)

\(\Delta f = \nabla^2 f =

 + {1 \over  r ^2}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} 

\)

\(\Delta \mathbf{A} =

 \left(\Delta A_r  - {A_r  \over  r ^2} 
   - {2 \over  r ^2}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r }  + 
 \left(\Delta A_\varphi - {A_\varphi \over  r ^2} 
   + {2 \over  r ^2}{\partial A_r  \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\varphi}  

\)

Externí odkazy

• Polární souřadnice na MathWorldu