Vážení zákazníci a čtenáři – od 28. prosince do 2. ledna máme zavřeno.
Přejeme Vám krásné svátky a 52 týdnů pohody a štěstí v roce 2025 !

Polární soustava souřadnic

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“)
Řádka 1: Řádka 1:
-
'''Polární soustava souřadnic''' je taková [[soustava souřadnic]] v [[rovina|rovině]], u které jedna souřadnice (označovaná <math>r</math>) udává [[vzdálenost]] [[bod]]u od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná <math>\varphi</math>) udává [[úhel]] spojnice tělesa a počátku od zvolené osy ležící v rovině (nejčastěji jí odpovídá osa <math>x</math> [[Kartézská soustava souřadnic|kartézských souřadnic]]). Jedná se o [[Ortogonální souřadnicová soustava|ortogonální soustavu souřadnic]] s [[Lamého koeficienty]]
+
'''Polární soustava souřadnic''' je taková [[soustava souřadnic]] v [[rovina|rovině]], u které jedna souřadnice (označovaná <big>\(r</math>) udává [[vzdálenost]] [[bod]]u od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná <big>\(\varphi</math>) udává [[úhel]] spojnice tělesa a počátku od zvolené osy ležící v rovině (nejčastěji jí odpovídá osa <big>\(x</math> [[Kartézská soustava souřadnic|kartézských souřadnic]]). Jedná se o [[Ortogonální souřadnicová soustava|ortogonální soustavu souřadnic]] s [[Lamého koeficienty]]
-
<math>h_r = 1 \quad h_{\varphi} = r</math>.
+
<big>\(h_r = 1 \quad h_{\varphi} = r</math>.
Polární soustava souřadnic je vhodná v případech takových [[Mechanický pohyb|pohybů]], při nichž se nemění vzdálenost tělesa od jednoho bodu (počátku souřadnic), například u [[Pohyb po kružnici|pohybu po kružnici]], případně se tato vzdálost mění s nějakou jednoduchou závislostí.
Polární soustava souřadnic je vhodná v případech takových [[Mechanický pohyb|pohybů]], při nichž se nemění vzdálenost tělesa od jednoho bodu (počátku souřadnic), například u [[Pohyb po kružnici|pohybu po kružnici]], případně se tato vzdálost mění s nějakou jednoduchou závislostí.
Řádka 11: Řádka 11:
[[Transformace souřadnic|Transformace]] '''polárních souřadnic''' na [[Kartézská soustava souřadnic|kartézské]]:<br />
[[Transformace souřadnic|Transformace]] '''polárních souřadnic''' na [[Kartézská soustava souřadnic|kartézské]]:<br />
-
:<math>x = r \cos{\varphi}\,</math><br />
+
:<big>\(x = r \cos{\varphi}\,</math><br />
-
:<math>y = r \sin{\varphi}\,</math><br />
+
:<big>\(y = r \sin{\varphi}\,</math><br />
Převod [[Kartézská soustava souřadnic|kartézských souřadnic]] na '''polární''':<br />
Převod [[Kartézská soustava souřadnic|kartézských souřadnic]] na '''polární''':<br />
-
:<math>r = \sqrt{x^2 + y^2}</math><br />
+
:<big>\(r = \sqrt{x^2 + y^2}</math><br />
-
:<math>\varphi = \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)</math><br />
+
:<big>\(\varphi = \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)</math><br />
-
Tato převodní funkce však funguje jen na [[interval (matematika)|intervalu]] <math>\varphi \in \langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle</math> - pro jiné intervaly bychom museli změnit znaménko [[Arkus tangens|funkce arctg(''x'')]]. Abychom mohli popsat [[inverzní funkce|inverzi]] pro daný úhel na celém jeho [[definiční obor|definičním intervalu]], bývá často používána funkce [[funkce arctg2|arctg2(''y'',''x'')]] definovaná jako
+
Tato převodní funkce však funguje jen na [[interval (matematika)|intervalu]] <big>\(\varphi \in \langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle</math> - pro jiné intervaly bychom museli změnit znaménko [[Arkus tangens|funkce arctg(''x'')]]. Abychom mohli popsat [[inverzní funkce|inverzi]] pro daný úhel na celém jeho [[definiční obor|definičním intervalu]], bývá často používána funkce [[funkce arctg2|arctg2(''y'',''x'')]] definovaná jako
-
:<math>\operatorname{arctg2}(y,x) = \left\{\begin{matrix}  
+
:<big>\(\operatorname{arctg2}(y,x) = \left\{\begin{matrix}  
\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right),\ \ \ \ \ \ & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y>0), \\  
\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right),\ \ \ \ \ \ & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y>0), \\  
\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + \pi,\ & \mbox{je-li }  
\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + \pi,\ & \mbox{je-li }  
Řádka 28: Řádka 28:
Převod [[Kartézská soustava souřadnic|kartézských souřadnic]] na '''polární''' má potom zápis:
Převod [[Kartézská soustava souřadnic|kartézských souřadnic]] na '''polární''' má potom zápis:
-
:<math>r = \sqrt{x^2 + y^2}</math><br />
+
:<big>\(r = \sqrt{x^2 + y^2}</math><br />
-
:<math>\varphi = \operatorname{arctg2}\left(y,x\right)</math><br />
+
:<big>\(\varphi = \operatorname{arctg2}\left(y,x\right)</math><br />
== Metrické vlastnosti ==
== Metrické vlastnosti ==
Řádka 35: Řádka 35:
Délka [[Infinitezimální hodnota|infinitesimální]] úsečky se spočte jako
Délka [[Infinitezimální hodnota|infinitesimální]] úsečky se spočte jako
-
:<math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\varphi^2,</math>
+
:<big>\(\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\varphi^2,</math>
tedy délka [[křivka|křivky]] obecně jako
tedy délka [[křivka|křivky]] obecně jako
-
:<math>\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2
+
:<big>\(\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2
             +r^2\left(\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2}}\mathrm{d}t,</math>
             +r^2\left(\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2}}\mathrm{d}t,</math>
-
kde ''t'' je parametr dané křivky a s je její délka od <math>t_1</math> do <math>t_2</math>.
+
kde ''t'' je parametr dané křivky a s je její délka od <big>\(t_1</math> do <big>\(t_2</math>.
[[Obsah]] infinitesimálního elementu plochy spočteme jako
[[Obsah]] infinitesimálního elementu plochy spočteme jako
-
:<math>\mathrm{d}S=r \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi,</math>
+
:<big>\(\mathrm{d}S=r \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi,</math>
takže celkový obsah spočteme [[integrál|integrací]] tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou v polárních souřadnicích.
takže celkový obsah spočteme [[integrál|integrací]] tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou v polárních souřadnicích.
Řádka 52: Řádka 52:
[[Afinní konexe]] jsou dány vztahy
[[Afinní konexe]] jsou dány vztahy
-
:<math>{\Gamma^r}_{rr}={\Gamma^\varphi}_{\varphi\varphi}=
+
:<big>\({\Gamma^r}_{rr}={\Gamma^\varphi}_{\varphi\varphi}=
{\Gamma^r}_{r\varphi}={\Gamma^r}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{rr}=0</math>
{\Gamma^r}_{r\varphi}={\Gamma^r}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{rr}=0</math>
-
:<math>{\Gamma^\varphi}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{r \varphi} = \frac{1}{r}</math>
+
:<big>\({\Gamma^\varphi}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{r \varphi} = \frac{1}{r}</math>
-
:<math>{\Gamma^r}_{\varphi \varphi}= -r</math>
+
:<big>\({\Gamma^r}_{\varphi \varphi}= -r</math>
== Diferenciální operátory v polárních souřadnicích ==
== Diferenciální operátory v polárních souřadnicích ==
-
:<math>\nabla f =  
+
:<big>\(\nabla f =  
{\partial f \over \partial r }\boldsymbol{\hat r }  
{\partial f \over \partial r }\boldsymbol{\hat r }  
   + {1 \over  r }{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi}  
   + {1 \over  r }{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi}  
Řádka 65: Řádka 65:
-
:<math>\nabla \cdot \mathbf{A} =
+
:<big>\(\nabla \cdot \mathbf{A} =
{1 \over r }{\partial \left( r A_r \right) \over \partial r }  
{1 \over r }{\partial \left( r A_r \right) \over \partial r }  
   + {1 \over  r }{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}  
   + {1 \over  r }{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}  
Řádka 71: Řádka 71:
-
:<math>\Delta f = \nabla^2 f =  
+
:<big>\(\Delta f = \nabla^2 f =  
{1 \over r }{\partial \over \partial r }\left( r {\partial f \over \partial r }\right)  
{1 \over r }{\partial \over \partial r }\left( r {\partial f \over \partial r }\right)  
   + {1 \over  r ^2}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2}  
   + {1 \over  r ^2}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2}  
Řádka 77: Řádka 77:
-
:<math>\Delta \mathbf{A} =  
+
:<big>\(\Delta \mathbf{A} =  
   \left(\Delta A_r  - {A_r  \over  r ^2}  
   \left(\Delta A_r  - {A_r  \over  r ^2}  
     - {2 \over  r ^2}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r }  +  
     - {2 \over  r ^2}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r }  +  

Verze z 14. 8. 2022, 14:49

Polární soustava souřadnic je taková soustava souřadnic v rovině, u které jedna souřadnice (označovaná \(r</math>) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná \(\varphi</math>) udává úhel spojnice tělesa a počátku od zvolené osy ležící v rovině (nejčastěji jí odpovídá osa \(x</math> kartézských souřadnic). Jedná se o ortogonální soustavu souřadnic s Lamého koeficienty

\(h_r = 1 \quad h_{\varphi} = r</math>.

Polární soustava souřadnic je vhodná v případech takových pohybů, při nichž se nemění vzdálenost tělesa od jednoho bodu (počátku souřadnic), například u pohybu po kružnici, případně se tato vzdálost mění s nějakou jednoduchou závislostí.

Souřadnicová síť v polárních souřadnicích
Bod v polární soustavě souřadnic
Ukázka dvou bodů v polárních souřadnicích: [r=3; φ=60°] a [r=4; φ=210°]
Ukázka převodu polárních souřadnic [r; φ] na kartézské [x; y]

Transformace polárních souřadnic na kartézské:

\(x = r \cos{\varphi}\,</math>
\(y = r \sin{\varphi}\,</math>

Převod kartézských souřadnic na polární:

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>
\(\varphi = \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)</math>

Tato převodní funkce však funguje jen na intervalu \(\varphi \in \langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle</math> - pro jiné intervaly bychom museli změnit znaménko funkce arctg(x). Abychom mohli popsat inverzi pro daný úhel na celém jeho definičním intervalu, bývá často používána funkce arctg2(y,x) definovaná jako

\(\operatorname{arctg2}(y,x) = \left\{\begin{matrix}

\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right),\ \ \ \ \ \ & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y>0), \\ \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + \pi,\ & \mbox{je-li } (x<0), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + 2\pi, & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y<0), \\ \end{matrix}\right.</math>

Převod kartézských souřadnic na polární má potom zápis:

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>
\(\varphi = \operatorname{arctg2}\left(y,x\right)</math>

Metrické vlastnosti

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

\(\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\varphi^2,</math>

tedy délka křivky obecně jako

\(\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2 
           +r^2\left(\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2}}\mathrm{d}t,</math>

kde t je parametr dané křivky a s je její délka od \(t_1</math> do \(t_2</math>.

Obsah infinitesimálního elementu plochy spočteme jako

\(\mathrm{d}S=r \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi,</math>

takže celkový obsah spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou v polárních souřadnicích.

Afinní konexe jsou dány vztahy

\({\Gamma^r}_{rr}={\Gamma^\varphi}_{\varphi\varphi}=

{\Gamma^r}_{r\varphi}={\Gamma^r}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{rr}=0</math>

\({\Gamma^\varphi}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{r \varphi} = \frac{1}{r}</math>
\({\Gamma^r}_{\varphi \varphi}= -r</math>

Diferenciální operátory v polárních souřadnicích

\(\nabla f =

{\partial f \over \partial r }\boldsymbol{\hat r } 

 + {1 \over  r }{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi}

</math>


\(\nabla \cdot \mathbf{A} =

{1 \over r }{\partial \left( r A_r \right) \over \partial r } 

 + {1 \over  r }{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}

</math>


\(\Delta f = \nabla^2 f =

{1 \over r }{\partial \over \partial r }\left( r {\partial f \over \partial r }\right) 

 + {1 \over  r ^2}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

</math>


\(\Delta \mathbf{A} = 
 \left(\Delta A_r  - {A_r  \over  r ^2} 
   - {2 \over  r ^2}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r }  + 
 \left(\Delta A_\varphi - {A_\varphi \over  r ^2} 
   + {2 \over  r ^2}{\partial A_r  \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\varphi}

</math>


Externí odkazy

Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Pol%C3%A1rn%C3%AD_soustava_sou%C5%99adnic“