Celé číslo

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 14. 8. 2022, 14:48

Celá čísla se skládají z přirozených čísel (1, 2, 3, …), nuly a záporných celých čísel (-1, -2, -3, …). Množina celých čísel se v matematice většinou označuje Z, nebo \(\mathbb{Z}</math>, podle Zahlen (německy čísla). Podobně jako přirozená čísla, tvoří celá čísla nekonečnou spočetnou množinu. Studiem celých čísel se zabývá teorie čísel.

Algebraické vlastnosti

Množina celých čísel Z je uzavřená na operaci sčítání a násobení, to znamená, že součet i součin dvou celých čísel je opět celé číslo. Navíc oproti přirozeným číslům je uzavřená i pro odčítání. Není však uzavřena pro dělení, neboť podíl dvou celých čísel už nemusí být celé číslo (např. 1/2). Následující tabulka ukazuje zakladní vlastnosti násobení a sčítaní pro jakákoliv celá čísla a, b, c.

	sčítání	násobení
uzavřenost:	a + b je celé číslo	a × b je celé číslo
asociativita:	a + (b + c) = (a + b) + c	a × (b × c) = (a × b) × c
komutativita:	a + b = b + a	a × b = b × a
existence neutrálního prvku:	a + 0 = a	a × 1 = a
existence inverzního prvku:	a + (−a) = 0
distributivita:	a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Bez dělitelů nuly:		jestliže ab = 0, pak buď a = 0 nebo b = 0

V algebře tvoří Z s prvními pěti vlastnostmi uvedenými výše na operaci sčítání Abelovskou grupu. Grupa Z s operací sčítaní je cyklická, protože každý nenulový prvek může být vyjádřen konečným součtem (např 1 + 1 + … + 1 nebo (−1) + (−1) + … + (−1)). Říkáme tedy, že grupa Z s operací sčítání je nekonečná cyklická grupa a tedy každá nekonečná cyklická grupa je isomorfní Z. První čtyři vlastnosti uvedené výše s operací násobení říkají, že Z s toutu operací je komutativní monoid. Ale ne každý prvek ze Z ma inverzní prvek (ve smyslu násobení), prostě neexistuje takové celé číslo x, které by vyhovovalo rovnici 2x = 1. To znamená, že Z netvoří spolu s operací násobení grupu. Všechny vlastnosti z tabulky, kromě poslední, dohormady s operacemi sčítání a násobení na Z tvoří komutativní okruh s jednotkou. Přidáním poslední vlastnosti získame obor integrity nad Z. Neexistence inverzních prvků vzhledem k násobení, neboli že Z není uzavřena na dělení, znamená, že Z není těleso. Nejmenším tělesem obsahujícím celá čísla je tedy těleso racionálních čísel. Podobně se dá definovat i podílové těleso jakéhokoliv oboru integrity. Přestože bežné děleni není na Z definováno, neznamená to, že nemůžeme používat algoritmus dělení, ten říka: mějme dvě celá čísla a a b, kde b ≠ 0, pak existují právě dvě celá čísla q a r taková, že a = q × b + r a 0 ≤ r < |b|, kde |b| značí absolutní hodnotu b. Celé číslo q se nazývá kvocient a r se nazývá zbytek po dělení čísla a číslem b. To tvoří základ pro Euklidův algoritmus k výpočtu největšího společného dělitele.

Konstrukce

Celá čísla mohou být zkonstruována z přirozených čísel definováním tříd ekvivalence dvojic čísel N×N s relací ekvivalence, „~“, kde

\( (a,b) \sim (c,d) \,\! </math>

právě tehdy, když

\(a+d = b+c. \,\!</math>

Kdybychom brali 0 jako přirozené číslo, pak přirozená čísla můžeme považovat za čísla celá vnořením, které přirozenému číslu n přiřadí [(n,0)], kde [(a,b)] značí třídu ekvivalence, která obsahuje (a,b). Sčítání a násobení celých čísel je definováno následovně:

\([(a,b)]+[(c,d)] := [(a+c,b+d)].\,</math>

\([(a,b)]\cdot[(c,d)] := [(ac+bd,ad+bc)].\,</math>

Dá se lehce ověřit, že výsledek je nezávislý na volbě reprezentantů třídy ekvivalence. Typicky, [(a,b)] je označení pro

\(\begin{cases} n, & \mbox{if } a \ge b \\ -n, & \mbox{if } a < b, \end{cases} </math>

kde

\(n = |a-b|.\,</math>

Jestliže přirozená čísla přiřadíme k odpovídajícím celým číslům (použitím výše uvedeného vnoření), pak toto přiřazení je jednoznačné. Příklady:

\(\begin{align}

0 &= [(0,0)] &= [(1,1)] &= \cdots & &= [(k,k)] \\
1 &= [(1,0)] &= [(2,1)] &= \cdots & &= [(k+1,k)] \\

-1 &= [(0,1)] &= [(1,2)] &= \cdots & &= [(k,k+1)] \\

2 &= [(2,0)] &= [(3,1)] &= \cdots & &= [(k+2,k)] \\

-2 &= [(0,2)] &= [(1,3)] &= \cdots & &= [(k,k+2)] \end{align}</math>

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-'''Celá čísla''' se skládají z [[Přirozené číslo|přirozených čísel]] (1, 2, 3, …), [[0|nuly]] a [[záporné číslo|záporných]] celých čísel (-1, -2, -3, …). [[Množina]] celých čísel se v [[Matematika|matematice]] většinou označuje '''Z''', nebo <math>\mathbb{Z}</math>, podle ''Zahlen'' (německy ''čísla''). Podobně jako přirozená čísla, tvoří celá čísla [[Nekonečno|nekonečnou]] [[Spočetná množina|spočetnou množinu]]. Studiem celých čísel se zabývá [[teorie čísel]].
+'''Celá čísla''' se skládají z [[Přirozené číslo|přirozených čísel]] (1, 2, 3, …), [[0|nuly]] a [[záporné číslo|záporných]] celých čísel (-1, -2, -3, …). [[Množina]] celých čísel se v [[Matematika|matematice]] většinou označuje '''Z''', nebo <big>\(\mathbb{Z}</math>, podle ''Zahlen'' (německy ''čísla''). Podobně jako přirozená čísla, tvoří celá čísla [[Nekonečno|nekonečnou]] [[Spočetná množina|spočetnou množinu]]. Studiem celých čísel se zabývá [[teorie čísel]].
 == Algebraické vlastnosti ==
 Množina celých čísel '''Z''' je uzavřená na operaci [[sčítání]] a [[násobení]], to znamená, že součet i součin dvou celých čísel je opět celé číslo. Navíc oproti přirozeným číslům je uzavřená i pro [[odčítání]]. Není však uzavřena pro [[dělení]], neboť [[podíl]] dvou celých čísel už nemusí být celé číslo (např. 1/2).
@@ Řádka 27: / Řádka 27: @@
 == Konstrukce ==
 Celá čísla mohou být zkonstruována z přirozených čísel definováním tříd ekvivalence dvojic čísel '''N'''×'''N''' s [[Relace ekvivalence|relací ekvivalence]], „~“, kde
-:<math> (a,b) \sim (c,d) \,\! </math>
+:<big>\( (a,b) \sim (c,d) \,\! </math>
 právě tehdy, když
-:<math>a+d = b+c. \,\!</math>
+:<big>\(a+d = b+c. \,\!</math>
 Kdybychom brali 0 jako přirozené číslo, pak přirozená čísla můžeme považovat za čísla celá vnořením, které přirozenému číslu ''n'' přiřadí [(''n'',0)], kde [(''a'',''b'')] značí třídu ekvivalence, která obsahuje (''a'',''b'').
 Sčítání a násobení celých čísel je definováno následovně:
-:<math>[(a,b)]+[(c,d)] := [(a+c,b+d)].\,</math>
+:<big>\([(a,b)]+[(c,d)] := [(a+c,b+d)].\,</math>
-:<math>[(a,b)]\cdot[(c,d)] := [(ac+bd,ad+bc)].\,</math>
+:<big>\([(a,b)]\cdot[(c,d)] := [(ac+bd,ad+bc)].\,</math>
 Dá se lehce ověřit, že výsledek je nezávislý na volbě reprezentantů třídy ekvivalence.
 Typicky, [(''a'',''b'')] je označení pro
-:<math>\begin{cases} n, & \mbox{if }  a \ge b  \\ -n,  & \mbox{if } a < b, \end{cases} </math>
+:<big>\(\begin{cases} n, & \mbox{if }  a \ge b  \\ -n,  & \mbox{if } a < b, \end{cases} </math>
 kde
-:<math>n = |a-b|.\,</math>
+:<big>\(n = |a-b|.\,</math>
 Jestliže přirozená čísla přiřadíme k odpovídajícím celým číslům (použitím výše uvedeného vnoření), pak toto přiřazení je jednoznačné.
 Příklady:
-:<math>\begin{align}
+:<big>\(\begin{align}
 &= [(0,0)] &= [(1,1)] &= \cdots & &= [(k,k)] \\
 &= [(1,0)] &= [(2,1)] &= \cdots & &= [(k+1,k)] \\