Abelova sumace

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:26

V matematice je Abelova sumace, pojmenovaná po norském matematikovi Nielsi Henriku Abelovi (1802–1829), přepisem n-tého členu posloupnosti na rozdíl dvou po sobě jdoucích členech součtové řady dané touto posloupností.

Definice

Mějme dvě posloupnosti \((a_n) \) a \((b_n)\), kde n=1,2,3,... a definujme \(A_n=\sum_{k=1}^n a_k\).
Tedy \(a_{k} = A_{k} - A_{k-1}\)

Potom
\(\sum_{k=1}^n a_k b_k = \sum_{k=1}^n(A_{k} - A_{k-1})b_{k} =\)

\(= \sum_{k=1}^n A_{k}b_{k} - \sum_{k=1}^n A_{k-1}b_{k} = \sum_{k=1}^n A_{k}b_{k} - \sum_{k=0}^{n-1}A_{k}b_{k+1}\)

A protože \(A_0 = 0 \), tak můžeme druhou sumu indexovat od jedničky.

\(\sum_{k=1}^n A_{k}b_{k} -\sum_{k=1}^{n-1}A_{k}b_{k+1} = \sum_{k=1}^{n-1} A_{k}(b_{k} - b_{k+1}) + A_n b_n\)

Což je výsledek.

Použití

Abelovy sumace se používá zejména v matematických důkazech, když potřebujeme upravit součin dvou posloupností. Využíváme jí např. při důkazech kriterií konvergence součtové řady - Dirichletovo a Abelovo kriterium.

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-V [[matematika|matematice]] je '''Abelova sumace''', pojmenovaná po norském matematikovi Nielsi Henriku Abelovi (1802–1829), přepisem n-tého členu [[posloupnost]]i na rozdíl dvou po sobě jdoucích členech součtové [[řada (matematika)|řady]] dané touto posloupností.
+V [[matematika|matematice]] je '''Abelova sumace''', pojmenovaná po norském matematikovi Nielsi Henriku Abelovi (1802–1829), přepisem n-tého členu [[posloupnost]]i na rozdíl dvou po sobě jdoucích členech součtové [[Řada (matematika)|řady]] dané touto posloupností.
 == Definice ==
-Mějme dvě posloupnosti <math> (a_n) </math> a <math> (b_n)</math>, kde n=1,2,3,...
+Mějme dvě posloupnosti <big>\((a_n) \)</big> a <big>\((b_n)\)</big>, kde n=1,2,3,...
-a definujme <math>A_n=\sum_{k=1}^n a_k</math>.<br />
+a definujme <big>\(A_n=\sum_{k=1}^n a_k\)</big>.<br />
-Tedy <math>a_{k} = A_{k} - A_{k-1}</math> <br /><br />
+Tedy <big>\(a_{k} = A_{k} - A_{k-1}\)</big> <br /><br />
-Potom <br /><math>\sum_{k=1}^n a_k b_k = \sum_{k=1}^n(A_{k} - A_{k-1})b_{k} =</math> <br />
+Potom <br /><big>\(\sum_{k=1}^n a_k b_k = \sum_{k=1}^n(A_{k} - A_{k-1})b_{k} =\)</big><br />
-<math>= \sum_{k=1}^n A_{k}b_{k} - \sum_{k=1}^n A_{k-1}b_{k} = \sum_{k=1}^n A_{k}b_{k} - \sum_{k=0}^{n-1}A_{k}b_{k+1} </math><br /><br />
+<big>\(= \sum_{k=1}^n A_{k}b_{k} - \sum_{k=1}^n A_{k-1}b_{k} = \sum_{k=1}^n A_{k}b_{k} - \sum_{k=0}^{n-1}A_{k}b_{k+1}\)</big><br /><br />
-A protože <math>A_0 = 0 </math>, tak můžeme druhou sumu indexovat od jedničky.
+A protože <big>\(A_0 = 0 \)</big>, tak můžeme druhou sumu indexovat od jedničky.
-<math>\sum_{k=1}^n A_{k}b_{k} -\sum_{k=1}^{n-1}A_{k}b_{k+1} = \sum_{k=1}^{n-1} A_{k}(b_{k} - b_{k+1}) + A_n b_n</math><br /><br />
+<big>\(\sum_{k=1}^n A_{k}b_{k} -\sum_{k=1}^{n-1}A_{k}b_{k+1} = \sum_{k=1}^{n-1} A_{k}(b_{k} - b_{k+1}) + A_n b_n\)</big><br /><br />
 Což je výsledek.