Kardinální číslo

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 14. 8. 2022, 14:48

V matematice se pojem kardinální číslo, někdy též kardinál, pojí s čísly používanými pro popis velikosti množin. Jelikož se matematika zabývá i nekonečnými objekty, kardinální čísla a mohutnosti množin popisují i nekonečné množiny.

Obsah

1 Historie
2 Definice
3 Vztah kardinálních čísel k mohutnosti
4 Vlastnosti a příklady kardinálních čísel
5 Funkce alef
6 Kardinální aritmetika
7 Související články

Historie

Kardinální čísla byla popsána Georgem Cantorem, když se v letech 1874 až 1884 pokoušel zavést teorii množin, která se dnes nazývá naivní. Nejdříve zavedl kardinalitu jako nástroj pro porovnávání konečných množin. Například množiny {1,2,3} a {2,3,4} si nejsou rovny, ale mají stejnou kardinalitu. Dále Cantor zavedl bijekci, pomocí které lze jednoduše ukázat, zda dvě konečné množiny mají stejnou kardinalitu. Použitím bijekce aplikoval svou myšlenku i na nekonečné množiny, například na přirozená čísla. Zavedl i pojem spočetná množina pro každou množinu, která má stejnou kardinalitu jako množina přirozených čísel. Kardinál spočetných množin pojmenoval \(\aleph_0</math> (aleph 0). Cantora zajímalo, zda každá nekonečná množina je spočetná. Pomocí takzvané diagonální metody dokázal, že tomu tak není a popsal nový kardinál, kardinál kontinua, dnes běžně značený c. Ukázal, že existuje nejmenší nekonečné kardinální číslo (\(\aleph_0</math>) a též že pro každé kardinální číslo existuje kardinální číslo, které je větší (\(\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots</math>). Později vyslovil tvrzení známé jako hypotéza kontinua. To říká, že c = \(\aleph_1</math>. Ukázalo se, že jeho platnost je nezávislá na standardních axiomech teorie množin, a proto nemůže být na základě nich dokázáno ani vyvráceno.

Definice

Ordinální číslo \( \alpha \,\! </math> nazveme kardinálním číslem (nebo kardinálem), pokud každé menší ordinální číslo \( \beta < \alpha \,\! </math> má i menší mohutnost (tj. \( \alpha \,\! </math> nelze vzájemně jednoznačně zobrazit na žádnou podmnožinu \( \beta \,\! </math>). Označíme-li jako \( Cn \,\! </math> třídu všech kardinálních čísel a \( On \,\! </math> třídu všech ordinálních čísel, můžeme zapsat tuto definici ve tvaru: \( \alpha \isin Cn \Leftrightarrow ( \forall \beta) (\beta < \alpha \implies \neg (\beta \approx \alpha)) </math> Kardinální čísla jsou obvykle značena písmeny ze středu řecké alfabety \( \kappa, \lambda, \mu \,\! </math>, aby se odlišila od ordinálních čísel, pro která jsou používána písmena ze začátku alfabety: \( \alpha, \beta, \gamma \,\! </math>

Vztah kardinálních čísel k mohutnosti

Kardinální čísla jsou vhodnými kandidáty k reprezentování jednotlivých tříd ekvivalence podle relace \( \approx \,\! </math> (viz článek mohutnost).
Je-li \( x \,\! </math> množina, kterou lze vzájemně jednoznačně zobrazit na kardinál \( \lambda \,\! </math>, říkáme, že \( \lambda \,\! </math> je mohutnost množiny \( x \,\! </math> a píšeme \( |x| = \lambda \,\! </math>. Otázka, které množiny lze vzájemně jednoznačně zobrazit na nějaký kardinál, není úplně jednoduchá:

každé ordinální číslo lze zobrazit na nějaký kardinál
dobře uspořádanou množinu lze izomorfně zobrazit na nějaký ordinál a ten pak vzájmeně jednoznačně na nějaký kardinál – to znamená, že dobře uspořádanou množinu lze zobrazit vzájemně jednoznačně na nějaký kardinál
pokud přijmu axiom výběru, pak z principu dobrého uspořádání plyne, že každou množinu lze dobře uspořádat – a tím i zobrazit na nějaký kardinál.
pokud nepřijmu axiom výběru nebo nějakou jeho obdobu, mám bohužel smůlu a v mém světě množin mohou existovat jedinci, pro které nelze mohutnost definovat výše uvedeným způsobem

Vlastnosti a příklady kardinálních čísel

Přirozená čísla (tj. konečná ordinální čísla) jsou zároveň kardinálními čísly.
Množina \( \omega \,\! </math> všech přirozených čísel je první nekonečný kardinál a zároveň jediný spočetný kardinál. Pokud existují nějaké další kardinály, jsou již nespočetné. A ony existují:
Ke každému kardinálu existuje větší kardinál.
Třída \( Cn \,\! </math> všech kardinálů je vlastní třída izomorfní s třídou \( On \,\! </math> všech ordinálů – kardinály lze tedy očíslovat ordinálními čísly tak, aby žádný nechyběl a žádný nepřebýval.

Která konkrétní nekonečná ordinální čísla jsou tedy zároveň kardinály, když jich existuje tolik? Prvním z nich je, jak již víme, \( \omega \,\! </math>. Pokusme se najít nějaký další:

ordinální čísla \( \omega + 1, \omega + 2, \omega + 3, \ldots \,\! </math> jsou spočetná – nejsou to tedy kardinály, protože mají stejnou mohutnost, jako menší ordinál \( \omega \,\! </math>
ordinální čísla \( \omega + \omega = \omega.2, \omega.3, \omega.4, \ldots \,\! </math> jsou stále spočetná
ordinální čísla \( \omega . \omega = \omega^2, \omega^3, \omega^4, \ldots \,\! </math> jsou stále spočetná
ordinální čísla \( \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}, \ldots \,\! </math> jsou stále spočetná
dokonce i supremum předchozí posloupnosti (označované někdy jako \( \epsilon_0 \,\! </math>) je stále spočetné

Jak je vidět, za \( \omega \,\! </math> následuje ve třídě ordinálních čísel veliké hluché místo, ve kterém není žádný kardinál – pokud se budeme snažit postupovat třídou ordinálních čísel nahoru pomocí operací ordinální aritmetiky jako v předchozím příkladu, zůstávají další kardinály kdesi daleko za obzorem.

Funkce alef

Obdobné tvrzení, jako číslo 4 v odstavci Vlastnosti a příklady kardinálních čísel, platí i pro třídu všech nekonečných kardinálů \( Cn - \omega \,\! </math> – také existuje izomorfismus mezi ní a \( On \,\! </math>.
Tato izomorfní funkce je obvykle nazývána prvním písmenem hebrejské abecedy – alef, a značena \( \aleph \,\! </math>.

\( \aleph_0 = \omega </math> je nejmenší nekonečný kardinál – množina přirozených čísel
\( \aleph_1 </math> je nejmenší nespočetný kardinál
pro každý ordinál \( \alpha \,\! </math> existuje kardinál \( \aleph_{\alpha} </math>, má tedy dobrý smysl ptát se, jak asi vypadají kardinály \( \aleph_2, \aleph_3, \aleph_{\omega}, \aleph_ {\omega^{\omega} + \omega.5 + 127} </math>

Dá se ukázat, že funkce \( \aleph \,\! </math> je normální funkce (tj. rostoucí a spojitá pro limitní ordinály) na ordinálních číslech. Lze dokázat, že každá taková funkce má ve třídě \( On \,\! </math> nekonečně mnoho pevných bodů (tyto pevné body dokonce tvoří vlastní třídu izomorfní s \( On \,\! </math>. Aplikováno konkrétně na funkci \( \aleph \,\! </math>: existuje obrovské (ve smyslu „hodně, ale opravdu hodně nekonečné“) množství ordinálů \( \alpha \,\! </math>, pro které platí, že \( \alpha = \aleph_\alpha </math>. Pokud si toto dáme dohromady s výsledkem našeho hledání \( \aleph_1 \,\! </math> v předchozím oddílu, vidíme, že funkce \( \aleph \,\! </math> má opravdu podivné vlastnosti:

na jedné straně hrozně rychle roste (už její druhá hodnota – \( \aleph_1 \,\! </math> je hodně daleko od její první hodnoty \( \aleph_0 \,\! </math>)
na druhé straně asi někde musí hodně přibrzdit, protože existují místa (libovolně velké ordinály), kde úplně ztratí náskok před „nejpomaleji rostoucí“ identickou funkcí \( Id: Id(\alpha) = \alpha \,\!</math> – v takovýchto pevných bodech platí \( \aleph_{\alpha} = Id(\alpha) = \alpha \,\! </math>

Kardinální aritmetika

Na třídě kardinálních čísel lze definovat stejně jako na třídě ordinálních čísel běžné aritmetické operace součtu, součinu a mocniny – rozdíl spočívá v tom, že zatímco u ordinálních operací hovořím o „typu dobrého uspořádání“ výsledné množiny, u kardinálních operací mě zajímá mohutnost výsledné množiny. Vlastnostmi těchto operací se zabývá samostatný článek kardinální aritmetika

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 3: / Řádka 3: @@
 Kardinální čísla byla popsána [[Georg Cantor|Georgem Cantorem]], když se v letech 1874 až 1884 pokoušel zavést [[teorie množin|teorii množin]], která se dnes nazývá [[naivní teorie množin|naivní]].
 Nejdříve zavedl kardinalitu jako nástroj pro porovnávání konečných množin. Například množiny {1,2,3} a {2,3,4} si nejsou ''rovny'', ale mají ''stejnou kardinalitu''.
-Dále Cantor zavedl [[bijekce|bijekci]], pomocí které lze jednoduše ukázat, zda dvě konečné množiny mají stejnou kardinalitu. Použitím bijekce aplikoval svou myšlenku i na nekonečné množiny, například na [[přirozené číslo|přirozená čísla]]. Zavedl i pojem [[spočetná množina]] pro každou množinu, která má stejnou kardinalitu jako množina přirozených čísel. Kardinál spočetných množin pojmenoval <math>\aleph_0</math> (aleph 0).
+Dále Cantor zavedl [[bijekce|bijekci]], pomocí které lze jednoduše ukázat, zda dvě konečné množiny mají stejnou kardinalitu. Použitím bijekce aplikoval svou myšlenku i na nekonečné množiny, například na [[přirozené číslo|přirozená čísla]]. Zavedl i pojem [[spočetná množina]] pro každou množinu, která má stejnou kardinalitu jako množina přirozených čísel. Kardinál spočetných množin pojmenoval <big>\(\aleph_0</math> (aleph 0).
-Cantora zajímalo, zda každá nekonečná množina je spočetná. Pomocí takzvané [[Cantorova diagonální metoda|diagonální metody]] dokázal, že tomu tak není a popsal nový kardinál, ''kardinál kontinua'', dnes běžně značený ''c''. Ukázal, že existuje nejmenší nekonečné kardinální číslo (<math>\aleph_0</math>) a též že pro každé kardinální číslo existuje kardinální číslo, které je větší (<math>\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots</math>).
+Cantora zajímalo, zda každá nekonečná množina je spočetná. Pomocí takzvané [[Cantorova diagonální metoda|diagonální metody]] dokázal, že tomu tak není a popsal nový kardinál, ''kardinál kontinua'', dnes běžně značený ''c''. Ukázal, že existuje nejmenší nekonečné kardinální číslo (<big>\(\aleph_0</math>) a též že pro každé kardinální číslo existuje kardinální číslo, které je větší (<big>\(\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots</math>).
-Později vyslovil tvrzení známé jako [[hypotéza kontinua]]. To říká, že ''c'' = <math>\aleph_1</math>. Ukázalo se, že jeho platnost je nezávislá na standardních axiomech teorie množin, a proto nemůže být na základě nich dokázáno ani vyvráceno.
+Později vyslovil tvrzení známé jako [[hypotéza kontinua]]. To říká, že ''c'' = <big>\(\aleph_1</math>. Ukázalo se, že jeho platnost je nezávislá na standardních axiomech teorie množin, a proto nemůže být na základě nich dokázáno ani vyvráceno.
 == Definice ==
-[[Ordinální číslo]] <math> \alpha \,\! </math> nazveme '''kardinálním číslem''' (nebo '''kardinálem'''), pokud každé menší ordinální číslo <math> \beta < \alpha \,\! </math> má i menší [[mohutnost]] (tj. <math> \alpha \,\! </math> nelze [[Bijekce|vzájemně jednoznačně zobrazit]] na žádnou podmnožinu <math> \beta \,\! </math>). Označíme-li jako <math> Cn \,\! </math> třídu všech kardinálních čísel a <math> On \,\! </math> třídu všech ordinálních čísel, můžeme zapsat tuto definici ve tvaru:
+[[Ordinální číslo]] <big>\( \alpha \,\! </math> nazveme '''kardinálním číslem''' (nebo '''kardinálem'''), pokud každé menší ordinální číslo <big>\( \beta < \alpha \,\! </math> má i menší [[mohutnost]] (tj. <big>\( \alpha \,\! </math> nelze [[Bijekce|vzájemně jednoznačně zobrazit]] na žádnou podmnožinu <big>\( \beta \,\! </math>). Označíme-li jako <big>\( Cn \,\! </math> třídu všech kardinálních čísel a <big>\( On \,\! </math> třídu všech ordinálních čísel, můžeme zapsat tuto definici ve tvaru:
-<math> \alpha \isin Cn \Leftrightarrow ( \forall \beta) (\beta < \alpha \implies \neg (\beta \approx \alpha)) </math>
+<big>\( \alpha \isin Cn \Leftrightarrow ( \forall \beta) (\beta < \alpha \implies \neg (\beta \approx \alpha)) </math>
-'''Kardinální čísla''' jsou obvykle značena písmeny ze středu řecké alfabety <math> \kappa, \lambda, \mu \,\! </math>, aby se odlišila od ordinálních čísel, pro která jsou používána písmena ze začátku alfabety: <math> \alpha, \beta, \gamma \,\! </math>
+'''Kardinální čísla''' jsou obvykle značena písmeny ze středu řecké alfabety <big>\( \kappa, \lambda, \mu \,\! </math>, aby se odlišila od ordinálních čísel, pro která jsou používána písmena ze začátku alfabety: <big>\( \alpha, \beta, \gamma \,\! </math>
 == Vztah kardinálních čísel k mohutnosti ==
-Kardinální čísla jsou vhodnými kandidáty k reprezentování jednotlivých [[Relace ekvivalence|tříd ekvivalence]] podle relace <math> \approx \,\! </math> (viz článek [[mohutnost]]).<br />
+Kardinální čísla jsou vhodnými kandidáty k reprezentování jednotlivých [[Relace ekvivalence|tříd ekvivalence]] podle relace <big>\( \approx \,\! </math> (viz článek [[mohutnost]]).<br />
-Je-li <math> x \,\! </math> množina, kterou lze vzájemně jednoznačně zobrazit na kardinál <math> \lambda \,\! </math>, říkáme, že <math> \lambda \,\! </math> je '''mohutnost''' množiny <math> x \,\! </math> a píšeme <math> |x| = \lambda \,\! </math>.
+Je-li <big>\( x \,\! </math> množina, kterou lze vzájemně jednoznačně zobrazit na kardinál <big>\( \lambda \,\! </math>, říkáme, že <big>\( \lambda \,\! </math> je '''mohutnost''' množiny <big>\( x \,\! </math> a píšeme <big>\( |x| = \lambda \,\! </math>.
 Otázka, které množiny lze vzájemně jednoznačně zobrazit na nějaký kardinál, není úplně jednoduchá:
 # každé ordinální číslo lze zobrazit na nějaký kardinál
@@ Řádka 20: / Řádka 20: @@
 == Vlastnosti a příklady kardinálních čísel ==
 # [[Přirozené číslo|Přirozená čísla]] (tj. konečná ordinální čísla) jsou zároveň kardinálními čísly.
-# Množina <math> \omega \,\! </math> všech přirozených čísel je první nekonečný kardinál a zároveň jediný [[Spočetná množina|spočetný]] kardinál. Pokud existují nějaké další kardinály, jsou již [[Nespočetná množina|nespočetné]]. A ony existují:
+# Množina <big>\( \omega \,\! </math> všech přirozených čísel je první nekonečný kardinál a zároveň jediný [[Spočetná množina|spočetný]] kardinál. Pokud existují nějaké další kardinály, jsou již [[Nespočetná množina|nespočetné]]. A ony existují:
 # Ke každému kardinálu existuje větší kardinál.
-# Třída <math> Cn \,\! </math> všech kardinálů je [[vlastní třída]] [[Izomorfismus|izomorfní]] s třídou <math> On \,\! </math> všech ordinálů – kardinály lze tedy očíslovat ordinálními čísly tak, aby žádný nechyběl a žádný nepřebýval.
+# Třída <big>\( Cn \,\! </math> všech kardinálů je [[vlastní třída]] [[Izomorfismus|izomorfní]] s třídou <big>\( On \,\! </math> všech ordinálů – kardinály lze tedy očíslovat ordinálními čísly tak, aby žádný nechyběl a žádný nepřebýval.
-Která konkrétní nekonečná ordinální čísla jsou tedy zároveň kardinály, když jich existuje tolik? Prvním z nich je, jak již víme, <math> \omega \,\! </math>. Pokusme se najít nějaký další:
+Která konkrétní nekonečná ordinální čísla jsou tedy zároveň kardinály, když jich existuje tolik? Prvním z nich je, jak již víme, <big>\( \omega \,\! </math>. Pokusme se najít nějaký další:
-* ordinální čísla <math> \omega + 1, \omega + 2, \omega + 3, \ldots \,\! </math> jsou spočetná – nejsou to tedy kardinály, protože mají stejnou mohutnost, jako menší ordinál <math> \omega \,\! </math>
+* ordinální čísla <big>\( \omega + 1, \omega + 2, \omega + 3, \ldots \,\! </math> jsou spočetná – nejsou to tedy kardinály, protože mají stejnou mohutnost, jako menší ordinál <big>\( \omega \,\! </math>
-* ordinální čísla <math> \omega + \omega = \omega.2, \omega.3, \omega.4, \ldots \,\! </math> jsou stále spočetná
+* ordinální čísla <big>\( \omega + \omega = \omega.2, \omega.3, \omega.4, \ldots \,\! </math> jsou stále spočetná
-* ordinální čísla <math> \omega . \omega = \omega^2, \omega^3, \omega^4, \ldots \,\! </math> jsou stále spočetná
+* ordinální čísla <big>\( \omega . \omega = \omega^2, \omega^3, \omega^4, \ldots \,\! </math> jsou stále spočetná
-* ordinální čísla <math> \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}, \ldots \,\! </math> jsou stále spočetná
+* ordinální čísla <big>\( \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}, \ldots \,\! </math> jsou stále spočetná
-* dokonce i [[supremum]] předchozí posloupnosti (označované někdy jako <math> \epsilon_0 \,\! </math>) je stále spočetné
+* dokonce i [[supremum]] předchozí posloupnosti (označované někdy jako <big>\( \epsilon_0 \,\! </math>) je stále spočetné
-Jak je vidět, za <math> \omega \,\! </math> následuje ve třídě ordinálních čísel veliké hluché místo, ve kterém není žádný kardinál – pokud se budeme snažit postupovat třídou ordinálních čísel nahoru pomocí operací [[ordinální aritmetika|ordinální aritmetiky]] jako v předchozím příkladu, zůstávají další kardinály kdesi daleko za obzorem.
+Jak je vidět, za <big>\( \omega \,\! </math> následuje ve třídě ordinálních čísel veliké hluché místo, ve kterém není žádný kardinál – pokud se budeme snažit postupovat třídou ordinálních čísel nahoru pomocí operací [[ordinální aritmetika|ordinální aritmetiky]] jako v předchozím příkladu, zůstávají další kardinály kdesi daleko za obzorem.
 == Funkce alef ==
-Obdobné tvrzení, jako číslo 4 v odstavci Vlastnosti a příklady kardinálních čísel, platí i pro třídu všech nekonečných kardinálů <math> Cn - \omega \,\! </math> – také existuje izomorfismus mezi ní a <math> On \,\! </math>.<br />
+Obdobné tvrzení, jako číslo 4 v odstavci Vlastnosti a příklady kardinálních čísel, platí i pro třídu všech nekonečných kardinálů <big>\( Cn - \omega \,\! </math> – také existuje izomorfismus mezi ní a <big>\( On \,\! </math>.<br />
-Tato izomorfní funkce je obvykle nazývána prvním písmenem hebrejské abecedy – alef, a značena <math> \aleph \,\! </math>.
+Tato izomorfní funkce je obvykle nazývána prvním písmenem hebrejské abecedy – alef, a značena <big>\( \aleph \,\! </math>.
-* <math> \aleph_0 = \omega </math> je nejmenší nekonečný kardinál – množina přirozených čísel
+* <big>\( \aleph_0 = \omega </math> je nejmenší nekonečný kardinál – množina přirozených čísel
-* <math> \aleph_1 </math> je nejmenší nespočetný kardinál
+* <big>\( \aleph_1 </math> je nejmenší nespočetný kardinál
-* pro každý ordinál <math> \alpha \,\! </math> existuje kardinál <math> \aleph_{\alpha} </math>, má tedy dobrý smysl ptát se, jak asi vypadají kardinály <math> \aleph_2, \aleph_3, \aleph_{\omega}, \aleph_ {\omega^{\omega} + \omega.5 + 127} </math>
+* pro každý ordinál <big>\( \alpha \,\! </math> existuje kardinál <big>\( \aleph_{\alpha} </math>, má tedy dobrý smysl ptát se, jak asi vypadají kardinály <big>\( \aleph_2, \aleph_3, \aleph_{\omega}, \aleph_ {\omega^{\omega} + \omega.5 + 127} </math>
-Dá se ukázat, že funkce <math> \aleph \,\! </math> je [[normální funkce]] (tj. rostoucí a spojitá pro [[limitní ordinál]]y) na ordinálních číslech. Lze dokázat, že každá taková funkce má ve třídě <math> On \,\! </math> nekonečně mnoho pevných bodů (tyto pevné body dokonce tvoří vlastní třídu izomorfní s <math> On \,\! </math>.
+Dá se ukázat, že funkce <big>\( \aleph \,\! </math> je [[normální funkce]] (tj. rostoucí a spojitá pro [[limitní ordinál]]y) na ordinálních číslech. Lze dokázat, že každá taková funkce má ve třídě <big>\( On \,\! </math> nekonečně mnoho pevných bodů (tyto pevné body dokonce tvoří vlastní třídu izomorfní s <big>\( On \,\! </math>.
-Aplikováno konkrétně na funkci <math> \aleph \,\! </math>: existuje obrovské (ve smyslu „hodně, ale opravdu hodně nekonečné“) množství ordinálů <math> \alpha \,\! </math>, pro které platí, že <math> \alpha = \aleph_\alpha </math>.
+Aplikováno konkrétně na funkci <big>\( \aleph \,\! </math>: existuje obrovské (ve smyslu „hodně, ale opravdu hodně nekonečné“) množství ordinálů <big>\( \alpha \,\! </math>, pro které platí, že <big>\( \alpha = \aleph_\alpha </math>.
-Pokud si toto dáme dohromady s výsledkem našeho hledání <math> \aleph_1 \,\! </math> v předchozím oddílu, vidíme, že funkce <math> \aleph \,\! </math> má opravdu podivné vlastnosti:
+Pokud si toto dáme dohromady s výsledkem našeho hledání <big>\( \aleph_1 \,\! </math> v předchozím oddílu, vidíme, že funkce <big>\( \aleph \,\! </math> má opravdu podivné vlastnosti:
-* na jedné straně hrozně rychle roste (už její druhá hodnota – <math> \aleph_1 \,\! </math> je hodně daleko od její první hodnoty <math> \aleph_0 \,\! </math>)
+* na jedné straně hrozně rychle roste (už její druhá hodnota – <big>\( \aleph_1 \,\! </math> je hodně daleko od její první hodnoty <big>\( \aleph_0 \,\! </math>)
-* na druhé straně asi někde musí hodně přibrzdit, protože existují místa (libovolně velké ordinály), kde úplně ztratí náskok před „nejpomaleji rostoucí“ identickou funkcí <math> Id: Id(\alpha) = \alpha \,\!</math> – v takovýchto pevných bodech platí <math> \aleph_{\alpha} = Id(\alpha) = \alpha \,\! </math>
+* na druhé straně asi někde musí hodně přibrzdit, protože existují místa (libovolně velké ordinály), kde úplně ztratí náskok před „nejpomaleji rostoucí“ identickou funkcí <big>\( Id: Id(\alpha) = \alpha \,\!</math> – v takovýchto pevných bodech platí <big>\( \aleph_{\alpha} = Id(\alpha) = \alpha \,\! </math>
 == Kardinální aritmetika ==
 Na třídě kardinálních čísel lze definovat stejně jako na třídě ordinálních čísel běžné aritmetické operace součtu, součinu a mocniny – rozdíl spočívá v tom, že zatímco u ordinálních operací hovořím o „typu dobrého uspořádání“ výsledné množiny, u kardinálních operací mě zajímá mohutnost výsledné množiny. Vlastnostmi těchto operací se zabývá samostatný článek [[kardinální aritmetika]]