Neutrální prvek

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 14. 8. 2022, 14:49

V algebře je neutrální prvek e množiny A s binární operací \(\otimes</math> takový prvek, pro nějž platí, že výsledkem operace neutrálního prvku a libovolného x ∈ A je x.

V případě, že se pro operaci používá multiplikativní značení, např \(\cdot</math>, je e často nazýván jednotkovým prvkem \((1 \cdot x = x)</math>. V případě použití aditivního značení, např. \(+</math>, je e často nazýván nulovým prvkem \((0 + x = x)\!</math>. Pro neutrální prvek se někdy také používá výraz identita.

Příklady

Pokud \((A,\ \otimes)</math> jsou reálná čísla se sčítáním, je číslo 0 neutrálním prvkem.
Pokud \((A,\ \otimes)</math> jsou reálná čísla s násobením, je neutrálním prvkem číslo 1.
Pokud \((A,\ \otimes)</math> jsou n-rozměrné čtvercové matice se sčítáním, neutrálním prvkem je nulová matice.
Pokud \((A,\ \otimes)</math> jsou n-rozměrné matice s násobením, je neutrálním prvkem jednotková matice.
Pokud \((A,\ \otimes)</math> je množina všech zobrazení z množiny \(M\,</math> do sebe sama a \(\otimes</math> je skládání funkcí, je neutrálním prvem funkce identita definovaná \(\forall x \in M : id(x) = x</math>.
Pokud má \(A\,</math> pouze dva prvky \(e\,</math> a \(f\,</math> a operace \(\otimes</math> je definována tak, že \(e \otimes e = f \otimes e = e</math> a \(f \otimes f = e \otimes f = f</math>, jsou oba prvky \(e\,</math> a \(f\,</math> levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.

Jak ukazuje poslední příklad, \((A,\otimes)</math> může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny \(A\,</math> je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině \(A\,</math> levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový.^{[pozn 1]}

Formální definice

Buď \(A\,</math> množina a \(\otimes</math> operace na \(A\,</math>.

Prvek \(e\in A\,</math> se nazývá levý neutrální, právě když \(\forall x \in A : e \otimes x = x</math>.
Prvek \(e\in A\,</math> se nazývá pravý neutrální, právě když \(\forall x \in A : x \otimes e = x</math>.
Prvek \(e\in A\,</math> se nazývá neutrální, právě když \(\forall x \in A : x \otimes e = e \otimes x = x</math>.

Struktury s jednou binární operací
	Asociativita	Neutrální prvek	Inverzní prvek
Grupa
Monoid
Pologrupa
Lupa
Kvazigrupa
Grupoid

Související články

Poznámky

↑ Důkaz: Buď l levý neutrální a r pravý neutrální, pak \(l = l \otimes r = r</math>. V množině A tedy může být jen jeden neutrální prvek.</li></ol>

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

[0] Důkaz: Buď l levý neutrální a r pravý neutrální, pak \(l = l \otimes r = r</math>. V množině A tedy může být jen jeden neutrální prvek.</li></ol>

[pozn 1]

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-V [[algebra|algebře]] je '''neutrální prvek''' ''e'' [[množina|množiny]] ''A'' s [[binární operace|binární]] [[operace (matematika)|operací]] <math>\otimes</math> takový [[Prvek množiny|prvek]], pro nějž platí, že výsledkem operace neutrálního prvku a libovolného ''x &isin; A'' je ''x''.
+V [[algebra|algebře]] je '''neutrální prvek''' ''e'' [[množina|množiny]] ''A'' s [[binární operace|binární]] [[operace (matematika)|operací]] <big>\(\otimes</math> takový [[Prvek množiny|prvek]], pro nějž platí, že výsledkem operace neutrálního prvku a libovolného ''x &isin; A'' je ''x''.
-V případě, že se pro operaci používá multiplikativní značení, např <math>\cdot</math>, je ''e'' často nazýván '''jednotkovým prvkem''' <math>(1 \cdot x = x)</math>.
+V případě, že se pro operaci používá multiplikativní značení, např <big>\(\cdot</math>, je ''e'' často nazýván '''jednotkovým prvkem''' <big>\((1 \cdot x = x)</math>.
-V případě použití aditivního značení, např. <math>+</math>, je ''e'' často nazýván '''nulovým prvkem''' <math>(0 + x = x)\!</math>.
+V případě použití aditivního značení, např. <big>\(+</math>, je ''e'' často nazýván '''nulovým prvkem''' <big>\((0 + x = x)\!</math>.
 Pro neutrální prvek se někdy také používá výraz [[identita (matematika)|identita]]'''.
 == Příklady ==
-* Pokud <math>(A,\ \otimes)</math> jsou [[reálné číslo|reálná čísla]] se [[sčítání]]m, je číslo ''0'' neutrálním prvkem.
+* Pokud <big>\((A,\ \otimes)</math> jsou [[reálné číslo|reálná čísla]] se [[sčítání]]m, je číslo ''0'' neutrálním prvkem.
-* Pokud <math>(A,\ \otimes)</math> jsou reálná čísla s [[násobení]]m, je neutrálním prvkem číslo ''1''.
+* Pokud <big>\((A,\ \otimes)</math> jsou reálná čísla s [[násobení]]m, je neutrálním prvkem číslo ''1''.
-* Pokud <math>(A,\ \otimes)</math> jsou ''n''-rozměrné [[Čtvercová matice|čtvercové]] [[matice]] se [[Sčítání matic|sčítáním]], neutrálním prvkem je [[nulová matice]].
+* Pokud <big>\((A,\ \otimes)</math> jsou ''n''-rozměrné [[Čtvercová matice|čtvercové]] [[matice]] se [[Sčítání matic|sčítáním]], neutrálním prvkem je [[nulová matice]].
-* Pokud <math>(A,\ \otimes)</math> jsou ''n''-rozměrné matice s [[násobení matic|násobením]], je neutrálním prvkem [[jednotková matice]].
+* Pokud <big>\((A,\ \otimes)</math> jsou ''n''-rozměrné matice s [[násobení matic|násobením]], je neutrálním prvkem [[jednotková matice]].
-* Pokud <math>(A,\ \otimes)</math> je [[množina]] všech [[zobrazení (matematika)|zobrazení]] z množiny <math>M\,</math> do sebe sama a <math>\otimes</math> je [[skládání funkcí]], je neutrálním prvem funkce [[identita (matematika)|identita]] definovaná <math>\forall x \in M : id(x) = x</math>.
+* Pokud <big>\((A,\ \otimes)</math> je [[množina]] všech [[zobrazení (matematika)|zobrazení]] z množiny <big>\(M\,</math> do sebe sama a <big>\(\otimes</math> je [[skládání funkcí]], je neutrálním prvem funkce [[identita (matematika)|identita]] definovaná <big>\(\forall x \in M : id(x) = x</math>.
-* Pokud má <math>A\,</math> pouze dva prvky <math>e\,</math> a <math>f\,</math> a operace <math>\otimes</math> je definována tak, že <math>e \otimes e = f \otimes e = e</math> a <math>f \otimes f = e \otimes f = f</math>, jsou oba prvky <math>e\,</math> a <math>f\,</math> levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.
+* Pokud má <big>\(A\,</math> pouze dva prvky <big>\(e\,</math> a <big>\(f\,</math> a operace <big>\(\otimes</math> je definována tak, že <big>\(e \otimes e = f \otimes e = e</math> a <big>\(f \otimes f = e \otimes f = f</math>, jsou oba prvky <big>\(e\,</math> a <big>\(f\,</math> levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.
-Jak ukazuje poslední příklad, <math>(A,\otimes)</math> může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny <math>A\,</math> je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině <math>A\,</math> levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový.<ref group=pozn>Důkaz: Buď ''l'' levý neutrální a ''r'' pravý neutrální, pak <math>l = l \otimes r = r</math>. V množině ''A'' tedy může být jen jeden neutrální prvek.</ref>
+Jak ukazuje poslední příklad, <big>\((A,\otimes)</math> může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny <big>\(A\,</math> je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině <big>\(A\,</math> levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový.<ref group=pozn>Důkaz: Buď ''l'' levý neutrální a ''r'' pravý neutrální, pak <big>\(l = l \otimes r = r</math>. V množině ''A'' tedy může být jen jeden neutrální prvek.</ref>
 == Formální definice ==
-Buď <math>A\,</math> množina a <math>\otimes</math> operace na <math>A\,</math>.
+Buď <big>\(A\,</math> množina a <big>\(\otimes</math> operace na <big>\(A\,</math>.
-* Prvek <math>e\in A\,</math> se nazývá '''levý neutrální''', právě když <math>\forall x \in A : e \otimes x = x</math>.
+* Prvek <big>\(e\in A\,</math> se nazývá '''levý neutrální''', právě když <big>\(\forall x \in A : e \otimes x = x</math>.
-* Prvek <math>e\in A\,</math> se nazývá '''pravý neutrální''', právě když <math>\forall x \in A : x \otimes e = x</math>.
+* Prvek <big>\(e\in A\,</math> se nazývá '''pravý neutrální''', právě když <big>\(\forall x \in A : x \otimes e = x</math>.
-* Prvek <math>e\in A\,</math> se nazývá '''neutrální''', právě když <math>\forall x \in A : x \otimes e = e \otimes x = x</math>.
+* Prvek <big>\(e\in A\,</math> se nazývá '''neutrální''', právě když <big>\(\forall x \in A : x \otimes e = e \otimes x = x</math>.