Bernoulliova rovnice

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Bernoulliovou rovnicí označujeme diferenciální rovnici, kterou lze zapsat ve tvaru

y^{'} + p (x) y = q (x) y^{n}

,

kde $n$ je konstanta.

Pro $n = 0$ přejde Bernoulliova rovnice na nehomogenní lineární rovnici. Pro $n = 1$ pak přejde na homogenní lineární rovnici.

Bernoulliovu rovnici lze pro $n \neq 0, 1$ řešit tak, že ji vydělíme $y^{n}$ a zavedeme substituci $z = y^{- n + 1}$ . Bernoulliova rovnice pak přejde na lineární diferenciální rovnici pro funkci $z (x)$ , tedy

\frac{d z (x)}{d x} + (- n + 1) p (x) z (x) = (- n + 1) q (x)

Bernoulliovu rovnici lze také řešit pomocí substituční metody.

Související články

Obyčejné diferenciální rovnice

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
 '''Bernoulliovou rovnicí''' označujeme [[diferenciální rovnice|diferenciální rovnici]], kterou lze zapsat ve tvaru
-:<big>\(y^\prime+p(x)y=q(x)y^n</math>,
+:<big>\(y^\prime+p(x)y=q(x)y^n\)</big>,
-kde <big>\(n</math> je [[konstanta]].
+kde <big>\(n\)</big> je [[konstanta]].
-Pro <big>\(n=0</math> přejde Bernoulliova rovnice na [[obyčejné diferenciální rovnice#lineární diferenciální rovnice prvního řádu|nehomogenní lineární rovnici]]. Pro <big>\(n=1</math> pak přejde na [[obyčejné diferenciální rovnice#lineární diferenciální rovnice prvního řádu|homogenní lineární rovnici]].
+Pro <big>\(n=0\)</big> přejde Bernoulliova rovnice na [[obyčejné diferenciální rovnice#lineární diferenciální rovnice prvního řádu|nehomogenní lineární rovnici]]. Pro <big>\(n=1\)</big> pak přejde na [[obyčejné diferenciální rovnice#lineární diferenciální rovnice prvního řádu|homogenní lineární rovnici]].
-Bernoulliovu rovnici lze pro <big>\(n\neq 0,1</math> řešit tak, že ji [[dělení|vydělíme]] <big>\(y^n</math> a zavedeme [[substituce (matematika)|substituci]] <big>\(z=y^{-n+1}</math>. Bernoulliova rovnice pak přejde na [[obyčejné diferenciální rovnice#lineární diferenciální rovnice prvního řádu|lineární diferenciální rovnici]] pro [[funkce (matematika)|funkci]] <big>\(z(x)</math>, tedy
+Bernoulliovu rovnici lze pro <big>\(n\neq 0,1\)</big> řešit tak, že ji [[dělení|vydělíme]] <big>\(y^n\)</big> a zavedeme [[substituce (matematika)|substituci]] <big>\(z=y^{-n+1}\)</big>. Bernoulliova rovnice pak přejde na [[obyčejné diferenciální rovnice#lineární diferenciální rovnice prvního řádu|lineární diferenciální rovnici]] pro [[funkce (matematika)|funkci]] <big>\(z(x)\)</big>, tedy
-:<big>\(\frac{\mathrm{d}z(x)}{\mathrm{d}x} + (-n+1)p(x)z(x)=(-n+1)q(x)</math>
+:<big>\(\frac{\mathrm{d}z(x)}{\mathrm{d}x} + (-n+1)p(x)z(x)=(-n+1)q(x)\)</big>
 Bernoulliovu rovnici lze také řešit pomocí [[substituční metoda|substituční metody]].