Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.
Minkowského prostor
Z Multimediaexpo.cz
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
| Řádka 2: | Řádka 2: | ||
== Složky vektoru == | == Složky vektoru == | ||
| - | Vektor v Minkowského prostoru <big>\(\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu}</ | + | Vektor v Minkowského prostoru <big>\(\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu}\)</big> má 4 souřadnice |
| - | :<big>\(a^\mu = \left( a^0, a^1, a^2, a^3 \right)\,.</ | + | :<big>\(a^\mu = \left( a^0, a^1, a^2, a^3 \right)\,.\)</big> |
| - | První z nich nazýváme časová složka nebo časová komponenta <big>\(t</ | + | První z nich nazýváme časová složka nebo časová komponenta <big>\(t\)</big>, ostatní tři odpovídají prostorovým souřadnicím <big>\(x,y,z\)</big>. Někdy se na časové ose používá jiné měřítko, což odpovídá konvenci měření času v sekundách a vzdálenosti v metrech. Přepočet mezi [[sekunda|sekundou]] a [[metr]]em je dán [[rychlost světla|rychlostí světla]] ve vakuu <big>\(c=299792458\ \mathrm{m.s^{-1}}\)</big>. V tomto článku předpokládáme na všech osách stejné měřítko, což odpovídá <big>\(c=1\)</big>. Vizte též [[přirozená soustava jednotek]]. |
== Skalární součin == | == Skalární součin == | ||
| - | [[Skalární součin]] dvou vektorů v Minkowského prostoru (<big>\(\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu},\ \mathbf{b}=b^{\mu}\mathbf{e}_{\mu}</ | + | [[Skalární součin]] dvou vektorů v Minkowského prostoru (<big>\(\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu},\ \mathbf{b}=b^{\mu}\mathbf{e}_{\mu}\)</big> ) je definován vztahem |
| - | :<big>\(\langle \mathbf{a},\mathbf{b} \rangle \equiv a_\mu b^\mu = \eta_{\mu \nu} a^\mu b^\nu = -a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\,.</ | + | :<big>\(\langle \mathbf{a},\mathbf{b} \rangle \equiv a_\mu b^\mu = \eta_{\mu \nu} a^\mu b^\nu = -a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\,.\)</big> |
Jako v [[Eukleidovský prostor|eukleidovském prostoru]], dva vektory nazýváme kolmými (ortogonálními), jestliže jejich skalární součin je roven nule. | Jako v [[Eukleidovský prostor|eukleidovském prostoru]], dva vektory nazýváme kolmými (ortogonálními), jestliže jejich skalární součin je roven nule. | ||
== Minkowského norma == | == Minkowského norma == | ||
Norma vektoru v Minkowského prostoru má trochu jiné vlastnosti než [[Eukleidovská norma]], protože popisuje odlišnou geometrii. Předně, Minkowského norma není pozitivně definitní, může tedy nabývat i záporných hodnot. Je definována jako skalární součin vektoru se sebou samým. | Norma vektoru v Minkowského prostoru má trochu jiné vlastnosti než [[Eukleidovská norma]], protože popisuje odlišnou geometrii. Předně, Minkowského norma není pozitivně definitní, může tedy nabývat i záporných hodnot. Je definována jako skalární součin vektoru se sebou samým. | ||
| - | :<big>\(||\mathbf{a}||^2 =\langle \mathbf{a},\mathbf{a} \rangle =-a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2</ | + | :<big>\(||\mathbf{a}||^2 =\langle \mathbf{a},\mathbf{a} \rangle =-a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2\)</big> |
| - | Vektor je nazýván jednotkovým, pokud platí <big>\(||\mathbf{a}||^2=\pm 1</ | + | Vektor je nazýván jednotkovým, pokud platí <big>\(||\mathbf{a}||^2=\pm 1\)</big>. |
== Báze == | == Báze == | ||
| - | Standardní bázi Minkowského prostoru tvoří 4 [[ortogonalita|ortogonální]] jednotkové vektory <big>\(\mathbf{e}_0,\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3</ | + | Standardní bázi Minkowského prostoru tvoří 4 [[ortogonalita|ortogonální]] jednotkové vektory <big>\(\mathbf{e}_0,\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\)</big>, pro které platí |
| - | :<big>\(-||\mathbf{e}_0||^2 = ||\mathbf{e}_1||^2 = ||\mathbf{e}_2||^2 = ||\mathbf{e}_3||^2 = 1\,.</ | + | :<big>\(-||\mathbf{e}_0||^2 = ||\mathbf{e}_1||^2 = ||\mathbf{e}_2||^2 = ||\mathbf{e}_3||^2 = 1\,.\)</big> |
Tuto podmínku lze stručně zapsat jako | Tuto podmínku lze stručně zapsat jako | ||
| - | :<big>\(\langle \mathbf{e}_\mu, \mathbf{e}_\nu \rangle = \eta_{\mu\nu}\,,</ | + | :<big>\(\langle \mathbf{e}_\mu, \mathbf{e}_\nu \rangle = \eta_{\mu\nu}\,,\)</big> |
| - | kde <big>\(\eta</ | + | kde <big>\(\eta\)</big> je diagonální matice |
| - | :<big>\(\eta=\operatorname{diag}\left(-1,1,1,1\right)=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\,.</ | + | :<big>\(\eta=\operatorname{diag}\left(-1,1,1,1\right)=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\,.\)</big> |
== Související články == | == Související články == | ||
Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52
Minkowského prostor se používá k popisu časoprostoru ve speciální teorii relativity. Matematicky jde o 4-rozměrný reálný lineární vektorový prostor se skalárním součinem. Změnu inerciální vztažné soustavy odpovídající Lorentzově transformaci lze chápat geometricky jako otáčení v Minkowského prostoru. Stejnou rotací přitom projdou čtyřvektory všech fyzikálních veličin.
Obsah |
Složky vektoru
Vektor v Minkowského prostoru \(\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu}\) má 4 souřadnice
- \(a^\mu = \left( a^0, a^1, a^2, a^3 \right)\,.\)
První z nich nazýváme časová složka nebo časová komponenta \(t\), ostatní tři odpovídají prostorovým souřadnicím \(x,y,z\). Někdy se na časové ose používá jiné měřítko, což odpovídá konvenci měření času v sekundách a vzdálenosti v metrech. Přepočet mezi sekundou a metrem je dán rychlostí světla ve vakuu \(c=299792458\ \mathrm{m.s^{-1}}\). V tomto článku předpokládáme na všech osách stejné měřítko, což odpovídá \(c=1\). Vizte též přirozená soustava jednotek.
Skalární součin
Skalární součin dvou vektorů v Minkowského prostoru (\(\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu},\ \mathbf{b}=b^{\mu}\mathbf{e}_{\mu}\) ) je definován vztahem
- \(\langle \mathbf{a},\mathbf{b} \rangle \equiv a_\mu b^\mu = \eta_{\mu \nu} a^\mu b^\nu = -a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\,.\)
Jako v eukleidovském prostoru, dva vektory nazýváme kolmými (ortogonálními), jestliže jejich skalární součin je roven nule.
Minkowského norma
Norma vektoru v Minkowského prostoru má trochu jiné vlastnosti než Eukleidovská norma, protože popisuje odlišnou geometrii. Předně, Minkowského norma není pozitivně definitní, může tedy nabývat i záporných hodnot. Je definována jako skalární součin vektoru se sebou samým.
- \(||\mathbf{a}||^2 =\langle \mathbf{a},\mathbf{a} \rangle =-a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2\)
Vektor je nazýván jednotkovým, pokud platí \(||\mathbf{a}||^2=\pm 1\).
Báze
Standardní bázi Minkowského prostoru tvoří 4 ortogonální jednotkové vektory \(\mathbf{e}_0,\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\), pro které platí
- \(-||\mathbf{e}_0||^2 = ||\mathbf{e}_1||^2 = ||\mathbf{e}_2||^2 = ||\mathbf{e}_3||^2 = 1\,.\)
Tuto podmínku lze stručně zapsat jako
- \(\langle \mathbf{e}_\mu, \mathbf{e}_\nu \rangle = \eta_{\mu\nu}\,,\)
kde \(\eta\) je diagonální matice
- \(\eta=\operatorname{diag}\left(-1,1,1,1\right)=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\,.\)
Související články
Externí odkazy
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |