Skalární součin

Z Multimediaexpo.cz

Skalární součin je v matematice zobrazení, které dvojici vektorů přiřadí číslo (skalár), které má vztah k velikosti těchto vektorů, k tzv. ortogonalitě a případně k úhlu, který svírají.

Formálně se skalární součin definuje na reálném nebo komplexním vektorovém prostoru V jako bilineární zobrazení

\(V\times V \to \mathbb{R}\)    resp.   \(V\times V \to \mathbb{C}\),    kde \(V\) je vektorový prostor nad číselným tělesem \(\mathbb{R}\) resp. \(\mathbb{C}\),

splňující jisté vlastnosti.

Nejběžnější příklad skalárního součinu je v trojrozměrném eukleidovském prostoru zobrazení dané vzorcem

\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}| \cos \alpha\),

kde \(\alpha\) je úhel sevřený vektory a a b.

Obsah

Způsob zápisu

Nejběžnější způsoby zápisu skalárního součinu vektorů u, v jsou:

  • \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\) – značení používané hlavně v prostorech konečné dimenze. Jedná se o podobné značení jako u násobení matic, což je v určitých ohledech podobná operace.
  • \(\langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle\) – značení běžné ve funkcionální analýze.
  • \((\mathbf{u},\mathbf{v})\) – starší značení, dnes již méně používané.
  • \(b\,(\mathbf{u},\mathbf{v})\) – b jako bilineární forma
  • \(\langle \mathbf{v} \mid \mathbf{u} \rangle\) – při použití Diracovy notace v kvantové mechanice

Definice

Jsou dány číselné těleso T a vektorový prostor V nad tímto tělesem. Zobrazení V×V → T  je skalárním součinem, jestliže splňuje pro všechna \(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V\) a všechna \(a \in T\) následující podmínky:

  1. \((\mathbf{u},\mathbf{v}) = \overline{(\mathbf{v},\mathbf{u})}\)
  2. \((\mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{w}) = (\mathbf{u},\mathbf{w})+(\mathbf{v},\mathbf{w})\)
  3. \((a\,\mathbf{u},\mathbf{v}) = a\,(\mathbf{u},\mathbf{v})\)
  4. \((\mathbf{v},\mathbf{v}) \ge 0\)
  5. \((\mathbf{v},\mathbf{v}) = 0 \iff \mathbf{v} = \mathbf{0}\)

Pruhem je označeno komplexní sdružení. Pro reálná čísla platí  \(\overline x = x.\)

Vlastnosti

Geometrická interpretace skalárního součinu
  • v reálném vektorovém prostoru je skalární součin komutativní, tzn.
\((\mathbf{u},\mathbf{v}) = (\mathbf{v},\mathbf{u})\)
  • ve vektorovém prostoru nad tělesem komplexních čísel platí
\((\mathbf{u},\mathbf{v}) = \overline{(\mathbf{v},\mathbf{u})}\)
  • pro komplexní a platí
\((\mathbf{u},a\,\mathbf{v}) = \overline{a}\,(\mathbf{u},\mathbf{v})\)
\((\mathbf{u},\mathbf{v}) = 0\)
  • jestliže množina \(\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n\}\) vyhovuje vztahu
\((\mathbf{e}_j,\mathbf{e}_k) = \delta_{jk}\),  kde \(\delta_{jk}\) je Kroneckerovo delta,
pak tyto vektory označujeme jako ortonormální.
  • pomocí skalárního součinu lze definovat normu vektoru, tzv.
norma generovaná skalárním součinem:
\(\|\mathbf{v}\| = \sqrt{(\mathbf{v},\mathbf{v})}\)
  • z geometrického hlediska představuje skalární součin vektorů u, v součin velikosti vektoru u a velikosti průmětu v do směru vektoru u, tzn.
\(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v} = \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\| \cos \alpha\),
kde \(\alpha\) je úhel, který svírají vektory u, v.

Příklady skalárních součinů

  • pro dva vektory \(\mathbf{u}=\sum_{i=1}^n u^i \mathbf{e}_i,\, \mathbf{v}=\sum_{i=1}^n v^i \mathbf{e}_i\)
(zapsané v nějaké jedné pevně zvolené bázi \(\mathbf{e}\)) lze skalární součin definovat jako
\((\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \sum^n_{i,j=1} (\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j) u^i \overline{v^j} = \sum^n_{i,j=1} g_{i j}u^i \overline{v^j}\),
kde \(g_{i j} = (\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j)\) je metrický tenzor (v tomto případě matice).
  • pro dvě posloupnosti \(a,b : \mathbb{N} \to \mathbb{C}\) můžeme definovat skalární součin jako řadu
\((a, b) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i \overline{b_i}\)
pokud řada konverguje.
  • skalární součin funkcí \((f, g)=\int_a^b f(x)\cdot \overline{g(x)} dx\) pokud integrál konverguje. (meze integrace jsou obvykle \(0, \pm \infty, \pm 1, \pm \pi\))

Příklad výpočtu skalárního součinu

Mějme dva trojrozměrné vektory a = (1,2,3), b = (4,5,6). Potom jejich skalární součin je

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_ 1b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 1\cdot 4 + 2\cdot 5 + 3\cdot 6 = 32\).

Související články

Externí odkazy

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Skalární součin
Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Skal%C3%A1rn%C3%AD_sou%C4%8Din“