Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
Diracova notace
Z Multimediaexpo.cz
Diracova notace (nebo také Diracova symbolika) je způsob zápisu vektorů běžně používaný v kvantové mechanice a kvantové teorii pole. Jde o zápis vektorů v Hilbertově prostoru, který zavedl Paul Dirac. Symbolika je též známá jako braketová.
Definice
Vektor a je označován symbolem \(|a\rangle\). Protože jsme v prostoru se skalárním součinem \((\cdot,\cdot)\), je dobře definován duální vektor \(\mathbf{a}^*=(\mathbf{a},\cdot)\) a značí se \(\langle a|\). Vektory se nazývají ket-vektory a duální vektory bra-vektory. Jde o slovní hříčku, protože akce bra-vektoru \(\langle a|\) na ket-vektor \(|b\rangle\) je podle definice jejich skalární součin \(\langle a | b\rangle=(\mathbf{b},\mathbf{a})\), což se anglicky říká bracket (závorka) (obvykle uvažujeme komplexní prostory a od skalárního součinu očekáváme linearitu v b a anti-linearitu v a).
Pokud souřadnice vektoru \(|a\rangle\) jsou v nějaké ortonormální bázi
- \(|a\rangle = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix},\)
pak souřadnice vektoru \(\langle a|\) v duální bázi jsou \(\langle a| = (a_1^*, a_2^*, \cdots, a_n^*)\) (* označuje komplexní sdružení). Za daných předpokladů můžeme také říct, že \(\langle a|\) je hermiteovsky sdružený vektor k \(|a\rangle\).
Použití
Diracova symbolika je výhodná proto, že je možné zapsat operátor, jeho vlastní čísla a vektory pomocí jednoho symbolu, např.
- \(\hat L|L\rangle = L|L\rangle\),
kde \(\hat L\) je operátor, \(L\) představuje jeho vlastní číslo a \(|L\rangle\) jeho vlastní vektor.
V případě diskrétních vlastních hodnot má předchozí vztah tvar
- \(\hat L |L_n\rangle = L_n|L_n\rangle = L_n |n\rangle\)
Pro hermiteovský operátor \(\hat A\), tzn. \({\hat A}^+ = \hat A\), pro který platí
- \(\hat A|f\rangle = |g\rangle\)
pak také platí
- \(\langle g| = {(|g\rangle)}^+ = {(\hat A |f\rangle)}^+ = {(|f\rangle)}^+ {\hat A}^+ = \langle f|{\hat A}\)
Hermiteovské operátory tedy působí na ket-vektory zleva a na bra-vektory zprava a tyto akce jsou stejné (ve smyslu ztotožnění vektorů a duálů).
Mnoho formulí z lineární algebry se dá v Diracově notaci zapsat velmi přehledně. Například operátor ortogonální projekce na prostor, který má ortonormální bázi \(|e_1\rangle,\ldots,|e_k\rangle\) se dá napsat jako \(\sum_i |e_i\rangle\langle e_i|\) (součin ket-vektoru a bra-vektoru je lineární operátor).
Související články
Externí odkazy
|
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |