Neutrální prvek

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

V algebře je neutrální prvek e množiny A s binární operací \(\otimes\) takový prvek, pro nějž platí, že výsledkem operace neutrálního prvku a libovolného x ∈ A je x.

V případě, že se pro operaci používá multiplikativní značení, např \(\cdot\), je e často nazýván jednotkovým prvkem \((1 \cdot x = x)\). V případě použití aditivního značení, např. \(+\), je e často nazýván nulovým prvkem \((0 + x = x)\!\). Pro neutrální prvek se někdy také používá výraz identita.

Příklady

Pokud \((A,\ \otimes)\) jsou reálná čísla se sčítáním, je číslo 0 neutrálním prvkem.
Pokud \((A,\ \otimes)\) jsou reálná čísla s násobením, je neutrálním prvkem číslo 1.
Pokud \((A,\ \otimes)\) jsou n-rozměrné čtvercové matice se sčítáním, neutrálním prvkem je nulová matice.
Pokud \((A,\ \otimes)\) jsou n-rozměrné matice s násobením, je neutrálním prvkem jednotková matice.
Pokud \((A,\ \otimes)\) je množina všech zobrazení z množiny \(M\,\) do sebe sama a \(\otimes\) je skládání funkcí, je neutrálním prvem funkce identita definovaná \(\forall x \in M : id(x) = x\).
Pokud má \(A\,\) pouze dva prvky \(e\,\) a \(f\,\) a operace \(\otimes\) je definována tak, že \(e \otimes e = f \otimes e = e\) a \(f \otimes f = e \otimes f = f\), jsou oba prvky \(e\,\) a \(f\,\) levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.

Jak ukazuje poslední příklad, \((A,\otimes)\) může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny \(A\,\) je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině \(A\,\) levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový.^{[pozn 1]}

Formální definice

Buď \(A\,\) množina a \(\otimes\) operace na \(A\,\).

Prvek \(e\in A\,\) se nazývá levý neutrální, právě když \(\forall x \in A : e \otimes x = x\).
Prvek \(e\in A\,\) se nazývá pravý neutrální, právě když \(\forall x \in A : x \otimes e = x\).
Prvek \(e\in A\,\) se nazývá neutrální, právě když \(\forall x \in A : x \otimes e = e \otimes x = x\).

Struktury s jednou binární operací
	Asociativita	Neutrální prvek	Inverzní prvek
Grupa
Monoid
Pologrupa
Lupa
Kvazigrupa
Grupoid

Související články

Poznámky

↑ Důkaz: Buď l levý neutrální a r pravý neutrální, pak \(l = l \otimes r = r\). V množině A tedy může být jen jeden neutrální prvek.

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

[0] Důkaz: Buď l levý neutrální a r pravý neutrální, pak \(l = l \otimes r = r\). V množině A tedy může být jen jeden neutrální prvek.

[pozn 1]

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-V [[algebra|algebře]] je '''neutrální prvek''' ''e'' [[množina|množiny]] ''A'' s [[binární operace|binární]] [[operace (matematika)|operací]] <big>\(\otimes</math> takový [[Prvek množiny|prvek]], pro nějž platí, že výsledkem operace neutrálního prvku a libovolného ''x &isin; A'' je ''x''.
+V [[algebra|algebře]] je '''neutrální prvek''' ''e'' [[množina|množiny]] ''A'' s [[binární operace|binární]] [[operace (matematika)|operací]] <big>\(\otimes\)</big> takový [[Prvek množiny|prvek]], pro nějž platí, že výsledkem operace neutrálního prvku a libovolného ''x &isin; A'' je ''x''.
-V případě, že se pro operaci používá multiplikativní značení, např <big>\(\cdot</math>, je ''e'' často nazýván '''jednotkovým prvkem''' <big>\((1 \cdot x = x)</math>.
+V případě, že se pro operaci používá multiplikativní značení, např <big>\(\cdot\)</big>, je ''e'' často nazýván '''jednotkovým prvkem''' <big>\((1 \cdot x = x)\)</big>.
-V případě použití aditivního značení, např. <big>\(+</math>, je ''e'' často nazýván '''nulovým prvkem''' <big>\((0 + x = x)\!</math>.
+V případě použití aditivního značení, např. <big>\(+\)</big>, je ''e'' často nazýván '''nulovým prvkem''' <big>\((0 + x = x)\!\)</big>.
 Pro neutrální prvek se někdy také používá výraz [[identita (matematika)|identita]]'''.
 == Příklady ==
-* Pokud <big>\((A,\ \otimes)</math> jsou [[reálné číslo|reálná čísla]] se [[sčítání]]m, je číslo ''0'' neutrálním prvkem.
+* Pokud <big>\((A,\ \otimes)\)</big> jsou [[reálné číslo|reálná čísla]] se [[sčítání]]m, je číslo ''0'' neutrálním prvkem.
-* Pokud <big>\((A,\ \otimes)</math> jsou reálná čísla s [[násobení]]m, je neutrálním prvkem číslo ''1''.
+* Pokud <big>\((A,\ \otimes)\)</big> jsou reálná čísla s [[násobení]]m, je neutrálním prvkem číslo ''1''.
-* Pokud <big>\((A,\ \otimes)</math> jsou ''n''-rozměrné [[Čtvercová matice|čtvercové]] [[matice]] se [[Sčítání matic|sčítáním]], neutrálním prvkem je [[nulová matice]].
+* Pokud <big>\((A,\ \otimes)\)</big> jsou ''n''-rozměrné [[Čtvercová matice|čtvercové]] [[matice]] se [[Sčítání matic|sčítáním]], neutrálním prvkem je [[nulová matice]].
-* Pokud <big>\((A,\ \otimes)</math> jsou ''n''-rozměrné matice s [[násobení matic|násobením]], je neutrálním prvkem [[jednotková matice]].
+* Pokud <big>\((A,\ \otimes)\)</big> jsou ''n''-rozměrné matice s [[násobení matic|násobením]], je neutrálním prvkem [[jednotková matice]].
-* Pokud <big>\((A,\ \otimes)</math> je [[množina]] všech [[zobrazení (matematika)|zobrazení]] z množiny <big>\(M\,</math> do sebe sama a <big>\(\otimes</math> je [[skládání funkcí]], je neutrálním prvem funkce [[identita (matematika)|identita]] definovaná <big>\(\forall x \in M : id(x) = x</math>.
+* Pokud <big>\((A,\ \otimes)\)</big> je [[množina]] všech [[zobrazení (matematika)|zobrazení]] z množiny <big>\(M\,\)</big> do sebe sama a <big>\(\otimes\)</big> je [[skládání funkcí]], je neutrálním prvem funkce [[identita (matematika)|identita]] definovaná <big>\(\forall x \in M : id(x) = x\)</big>.
-* Pokud má <big>\(A\,</math> pouze dva prvky <big>\(e\,</math> a <big>\(f\,</math> a operace <big>\(\otimes</math> je definována tak, že <big>\(e \otimes e = f \otimes e = e</math> a <big>\(f \otimes f = e \otimes f = f</math>, jsou oba prvky <big>\(e\,</math> a <big>\(f\,</math> levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.
+* Pokud má <big>\(A\,\)</big> pouze dva prvky <big>\(e\,\)</big> a <big>\(f\,\)</big> a operace <big>\(\otimes\)</big> je definována tak, že <big>\(e \otimes e = f \otimes e = e\)</big> a <big>\(f \otimes f = e \otimes f = f\)</big>, jsou oba prvky <big>\(e\,\)</big> a <big>\(f\,\)</big> levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.
-Jak ukazuje poslední příklad, <big>\((A,\otimes)</math> může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny <big>\(A\,</math> je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině <big>\(A\,</math> levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový.<ref group=pozn>Důkaz: Buď ''l'' levý neutrální a ''r'' pravý neutrální, pak <big>\(l = l \otimes r = r</math>. V množině ''A'' tedy může být jen jeden neutrální prvek.</ref>
+Jak ukazuje poslední příklad, <big>\((A,\otimes)\)</big> může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny <big>\(A\,\)</big> je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině <big>\(A\,\)</big> levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový.<ref group=pozn>Důkaz: Buď ''l'' levý neutrální a ''r'' pravý neutrální, pak <big>\(l = l \otimes r = r\)</big>. V množině ''A'' tedy může být jen jeden neutrální prvek.</ref>
 == Formální definice ==
-Buď <big>\(A\,</math> množina a <big>\(\otimes</math> operace na <big>\(A\,</math>.
+Buď <big>\(A\,\)</big> množina a <big>\(\otimes\)</big> operace na <big>\(A\,\)</big>.
-* Prvek <big>\(e\in A\,</math> se nazývá '''levý neutrální''', právě když <big>\(\forall x \in A : e \otimes x = x</math>.
+* Prvek <big>\(e\in A\,\)</big> se nazývá '''levý neutrální''', právě když <big>\(\forall x \in A : e \otimes x = x\)</big>.
-* Prvek <big>\(e\in A\,</math> se nazývá '''pravý neutrální''', právě když <big>\(\forall x \in A : x \otimes e = x</math>.
+* Prvek <big>\(e\in A\,\)</big> se nazývá '''pravý neutrální''', právě když <big>\(\forall x \in A : x \otimes e = x\)</big>.
-* Prvek <big>\(e\in A\,</math> se nazývá '''neutrální''', právě když <big>\(\forall x \in A : x \otimes e = e \otimes x = x</math>.
+* Prvek <big>\(e\in A\,\)</big> se nazývá '''neutrální''', právě když <big>\(\forall x \in A : x \otimes e = e \otimes x = x\)</big>.