V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!

Substituce (matematika)

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
Řádka 6: Řádka 6:
=== Exponenciální rovnice ===
=== Exponenciální rovnice ===
Řešení [[exponenciální rovnice]] pomocí '''substituce''':
Řešení [[exponenciální rovnice]] pomocí '''substituce''':
-
# <big>\(2^{2x} + 2^{x} - 6 = 0</math>
+
# <big>\(2^{2x} + 2^{x} - 6 = 0\)</big>
-
# Zavedeme substituci <big>\(a = 2^{x}</math>:<br /><big>\(a^{2} + a - 6 = 0</math>
+
# Zavedeme substituci <big>\(a = 2^{x}\)</big>:<br /><big>\(a^{2} + a - 6 = 0\)</big>
-
# Vypočítáme kvadratickou rovnici:<br /><big>\(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}</math><br /><br /><big>\(a_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2</math><br /><br /><big>\(a_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3</math>
+
# Vypočítáme kvadratickou rovnici:<br /><big>\(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}\)</big><br /><br /><big>\(a_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\)</big><br /><br /><big>\(a_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)</big>
# Nyní si můžeme napsat 2 [[rovnice]]:
# Nyní si můžeme napsat 2 [[rovnice]]:
-
## <big>\(2 = 2^x</math>
+
## <big>\(2 = 2^x\)</big>
-
## <big>\(-3 = 2^x</math>
+
## <big>\(-3 = 2^x\)</big>
# Vyřešíme obě [[rovnice]]:
# Vyřešíme obě [[rovnice]]:
-
## <big>\(2 = 2^x</math>
+
## <big>\(2 = 2^x\)</big>
-
### Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo <big>\(2</math> se dá napsat jako <big>\(2^1</math>:<br /><big>\(2^1 = 2^x</math>
+
### Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo <big>\(2\)</big> se dá napsat jako <big>\(2^1\)</big>:<br /><big>\(2^1 = 2^x\)</big>
-
### <big>\(1 = x</math>
+
### <big>\(1 = x\)</big>
-
### Výsledek je:<br /><big>\(x = 1</math><br />Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce.
+
### Výsledek je:<br /><big>\(x = 1\)</big><br />Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce.
-
## <big>\(-3 = 2^x</math><br />Rovnici bychom řešili pomocí [[Logaritmus|logaritmu]], ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit.
+
## <big>\(-3 = 2^x\)</big><br />Rovnici bychom řešili pomocí [[Logaritmus|logaritmu]], ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit.
=== Goniometrická rovnice ===
=== Goniometrická rovnice ===
Řešení [[goniometrické rovnice]] pomocí '''substituce''':
Řešení [[goniometrické rovnice]] pomocí '''substituce''':
-
# <big>\((\sin x)^2 + 2\sin x - 3 = 0</math>
+
# <big>\((\sin x)^2 + 2\sin x - 3 = 0\)</big>
-
# Zavedeme substituci <big>\(a = \sin x</math>:<br /><big>\(a^{2} + 2a - 3 = 0</math>
+
# Zavedeme substituci <big>\(a = \sin x\)</big>:<br /><big>\(a^{2} + 2a - 3 = 0\)</big>
-
# Vypočítáme kvadratickou rovnici:<br /><big>\(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}</math><br /><br /><big>\(a_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1</math><br /><br /><big>\(a_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3</math>
+
# Vypočítáme kvadratickou rovnici:<br /><big>\(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}\)</big><br /><br /><big>\(a_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1\)</big><br /><br /><big>\(a_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)</big>
# Nyní si můžeme napsat 2 [[rovnice]]:
# Nyní si můžeme napsat 2 [[rovnice]]:
-
## <big>\(\sin x = 1</math>
+
## <big>\(\sin x = 1\)</big>
-
## <big>\(\sin x = -3</math>
+
## <big>\(\sin x = -3\)</big>
# Vyřešíme obě [[rovnice]]:
# Vyřešíme obě [[rovnice]]:
-
## <big>\(\sin x = 1</math><br /><big>\(x = \frac{1}{2}\pi + 2k\pi</math>
+
## <big>\(\sin x = 1\)</big><br /><big>\(x = \frac{1}{2}\pi + 2k\pi\)</big>
-
## <big>\(\sin x = -3</math><br /><big>\(x = \phi</math><br />Tím je vyřešená [[goniometrická rovnice]] pomocí substituce.
+
## <big>\(\sin x = -3\)</big><br /><big>\(x = \phi\)</big><br />Tím je vyřešená [[goniometrická rovnice]] pomocí substituce.
== Související články ==
== Související články ==

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Substituce je nahrazení složitějších výrazů jednoduššími výrazy. Používá se u složitých výrazů a výpočet je pak jednodušší (snadnější). [1]

Obsah

Ukázky řešení příkladu

Exponenciální rovnice

Řešení exponenciální rovnice pomocí substituce:

  1. \(2^{2x} + 2^{x} - 6 = 0\)
  2. Zavedeme substituci \(a = 2^{x}\):
    \(a^{2} + a - 6 = 0\)
  3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
    \(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}\)

    \(a_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\)

    \(a_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
  4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
    1. \(2 = 2^x\)
    2. \(-3 = 2^x\)
  5. Vyřešíme obě rovnice:
    1. \(2 = 2^x\)
      1. Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo \(2\) se dá napsat jako \(2^1\):
        \(2^1 = 2^x\)
      2. \(1 = x\)
      3. Výsledek je:
        \(x = 1\)
        Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce.
    2. \(-3 = 2^x\)
      Rovnici bychom řešili pomocí logaritmu, ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit.

Goniometrická rovnice

Řešení goniometrické rovnice pomocí substituce:

  1. \((\sin x)^2 + 2\sin x - 3 = 0\)
  2. Zavedeme substituci \(a = \sin x\):
    \(a^{2} + 2a - 3 = 0\)
  3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
    \(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}\)

    \(a_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1\)

    \(a_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
  4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
    1. \(\sin x = 1\)
    2. \(\sin x = -3\)
  5. Vyřešíme obě rovnice:
    1. \(\sin x = 1\)
      \(x = \frac{1}{2}\pi + 2k\pi\)
    2. \(\sin x = -3\)
      \(x = \phi\)
      Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.

Související články

Reference

  1. ↑ Substituce - definice


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Substituce_(matematika)“