V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.
Youngova nerovnost
Z Multimediaexpo.cz
(Rozdíly mezi verzemi)
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
| Řádka 1: | Řádka 1: | ||
V [[Matematika|matematice]], '''Youngova nerovnost''', pojmenovaná podle Williama Henry Younga (1863−1942), dává do vztahu [[součin]] dvou nezáporných čísel a [[Sčítání|součet]] jejich [[Umocňování|mocnin]]: | V [[Matematika|matematice]], '''Youngova nerovnost''', pojmenovaná podle Williama Henry Younga (1863−1942), dává do vztahu [[součin]] dvou nezáporných čísel a [[Sčítání|součet]] jejich [[Umocňování|mocnin]]: | ||
| - | Jsou-li <big>\(a, b \geq 0</ | + | Jsou-li <big>\(a, b \geq 0\)</big>, <big>\(p, q \in (1, \infty)\)</big>, <big>\(p q = p+q\)</big>, pak |
| - | :<big>\(ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}</ | + | :<big>\(ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\)</big> . |
== Důkaz == | == Důkaz == | ||
| - | Pro <big>\(a = 0</ | + | Pro <big>\(a = 0\)</big> nebo <big>\(b = 0\)</big> je důkaz triviální. Jinak z [[Konkávní funkce|konkávnosti]] [[Logaritmus|logaritmu]] dostáváme, že |
| - | :<big>\(\ln \left(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\right) \geq {1 \over p} \ln (a^p) + {1 \over q} \ln (b^q) = \ln (a b)</ | + | :<big>\(\ln \left(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\right) \geq {1 \over p} \ln (a^p) + {1 \over q} \ln (b^q) = \ln (a b)\)</big>, |
což bylo dokázáno. | což bylo dokázáno. | ||
Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:54
V matematice, Youngova nerovnost, pojmenovaná podle Williama Henry Younga (1863−1942), dává do vztahu součin dvou nezáporných čísel a součet jejich mocnin:
Jsou-li \(a, b \geq 0\), \(p, q \in (1, \infty)\), \(p q = p+q\), pak
- \(ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\) .
Důkaz
Pro \(a = 0\) nebo \(b = 0\) je důkaz triviální. Jinak z konkávnosti logaritmu dostáváme, že
- \(\ln \left(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\right) \geq {1 \over p} \ln (a^p) + {1 \over q} \ln (b^q) = \ln (a b)\),
což bylo dokázáno.
Externí odkazy
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |