V encyklopedii Allmultimedia.cz byl aktivován špičkový grafický skin Foreground.
Foreground plně podporuje – RWD, HTML 5.0, Super Galerii a YouTube 2.0 !

Otočení

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (Stránka Otočení (geometrie) přemístěna na stránku Otočení: lepší...)
(+ Aktualizace)
 
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Otočení (geometrie)|700}}
+
__NOTOC__[[Soubor:geom_shodnost_rotace.png|thumb|240px|Geometrické otočení]]
-
 
+
V [[geometrie|geometrii]] představuje '''otočení''' neboli '''rotace''' v eukleidovské rovině [[geometrické zobrazení]], které je charakterizováno tím, že spojnice všech [[bod]]ů s pevně zvoleným bodem, tzn. ''středem otočení'',<br />se změní o stejný [[úhel]] a vzdálenost bodů od středu otáčení zůstává nezměněna.
 +
 
 +
Otočení v rovině kolem středu <big>\(S\)</big> o [[orientovaný úhel|(orientovaný) úhel]] <big>\(\alpha\)</big> je tedy takové shodné [[zobrazení (matematika)|zobrazení]], při kterém je obrazem bodu <big>\(A\neq S\)</big> bod <big>\(A^\prime\)</big>, pro který platí <big>\(|SA| = |SA^\prime|\)</big> a velikost úhlu <big>\(\angle ASA^\prime\)</big> je <big>\(\alpha\)</big>.<br />Obrazem středu otočení <big>\(S\)</big> je opět bod <big>\(S\)</big>.
 +
 
 +
Podobně se dá definovat rotace v třírozměrném prostoru jako otočení kolem jisté osy o pevný úhel.
 +
Tvar a velikost jednotlivých geometrických útvarů se při otočení nemění. Při otočení se také nemění [[Dimenze vektorového prostoru|dimenze]] otáčeného&nbsp;geometrického&nbsp;útvaru.
 +
 
 +
Otočení se řadí mezi [[shodné zobrazení|shodná zobrazení]].
 +
 
 +
== Matice rotace ==
 +
Rotace v dvourozměrné Eukleidově rovině kolem [[Počátek souřadnic|počátku souřadnic]] o úhel <big>\(\alpha\)</big> je dána vztahy
 +
:<big>\(x^\prime = x \cos \alpha - y \sin \alpha\)</big>
 +
:<big>\(y^\prime = x \sin \alpha + y \cos \alpha\)</big>.
 +
Čárkované souřadnice <big>\(x', y'\)</big> jsou souřadnice otočeného bodu, který měl před otočením souřadnice <big>\(x, y\)</big>.
 +
Podobně rotace v třírozměrném Eukleidově prostoru o úhel <big>\(\alpha\)</big> kolem osy <big>\(z\)</big> je dáno vztahem
 +
:<big>\(x^\prime = x \cos \alpha - y \sin \alpha\)</big>
 +
:<big>\(y^\prime = x \sin \alpha + y \cos \alpha\)</big>
 +
:<big>\(z^\prime = z\)</big>
 +
 
 +
Obecná rotace v prostoru se dá zapsat ve vektorovém tvaru <big>\(\mathbf{x'}=A\mathbf{x}\)</big>
 +
kde <big>\(A\)</big> je [[ortogonální matice]].
 +
 
 +
Matice rotace kolem osy <big>\(\mathbf{n}=(n_1, n_2,n_3)^T\)</big>, kde <big>\(n_1^2+n_2^2+n_3^2=1\)</big>, o úhel <big>\(\alpha\)</big> je
 +
:<big>\(\begin{array}{rl}A &= \begin{pmatrix} \cos \alpha +n_1^2 (1-\cos \alpha)&n_1 n_2(1-\cos \alpha) -n_3\sin \alpha  &n_1 n_3(1-\cos \alpha) +n_2\sin \alpha  \\ n_1 n_2(1-\cos \alpha) +n_3\sin \alpha  & \cos \alpha +n_2^2 (1-\cos \alpha) & n_2 n_3(1-\cos \alpha) -n_1\sin \alpha  \\ n_1 n_3(1-\cos \alpha) -n_2 \sin \alpha  & n_2 n_3(1-\cos \alpha) +n_1\sin \alpha  & \cos \alpha +n_3^2 (1-\cos \alpha)\end{pmatrix}\\\;&\;\\ &=(1-\cos\alpha)\mathbf{n}\mathbf{n}^T+\cos\alpha\,I+\sin \alpha\begin{pmatrix} 0&-n_3&n_2\\n_3&0&-n_1\\-n_2&n_1&0\end{pmatrix}, \end{array}\)</big>
 +
kde <big>\(I\)</big> [[Jednotková matice|jednotkovou matici]] řádu tři.
 +
Množina všech takových matic tvoří speciální [[ortogonální grupa|ortogonální grupu]] <big>\(SO(3)\)</big>.
 +
 
 +
== Rotace souřadnic ==
 +
Někdy se předpokládá, že se objekty v prostoru nezměnily, ale otočil se "pozorovatel", což odpovídá změně souřadnic. Změna souřadnic, která je dána stejným vzorcem jako rotace v prostoru, se nazývá rotace souřadnic, anebo ortogonální transformace souřadnic. Pokud <big>\(x_1,\ldots, x_n\)</big> jsou staré souřadnice a <big>\(x_1',\ldots, x_n'\)</big> nové souřadnice nějakého bodu nebo vektoru které vznikly rotací, pak platí
 +
:<big>\(\sum x_i^2=\sum (x_i')^2.\)</big>
 +
Rotace souřadnic o úhel <big>\(\varphi\)</big> kolem nějaké osy je dáno stejným vzorcem jako geometrická rotace prostoru kolem stejné osy o opačný úhel.
 +
 
 +
== Související články ==
 +
* [[Shodné zobrazení]]
 +
* [[Eulerovy úhly]]
 +
 
 +
== Externí odkazy ==
 +
 
 +
{{Commonscat|Rotation (geometry)}}{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Geometrie]]

Aktuální verze z 14. 9. 2025, 17:26

Geometrické otočení

V geometrii představuje otočení neboli rotace v eukleidovské rovině geometrické zobrazení, které je charakterizováno tím, že spojnice všech bodů s pevně zvoleným bodem, tzn. středem otočení,
se změní o stejný úhel a vzdálenost bodů od středu otáčení zůstává nezměněna.

Otočení v rovině kolem středu \(S\) o (orientovaný) úhel \(\alpha\) je tedy takové shodné zobrazení, při kterém je obrazem bodu \(A\neq S\) bod \(A^\prime\), pro který platí \(|SA| = |SA^\prime|\) a velikost úhlu \(\angle ASA^\prime\) je \(\alpha\).
Obrazem středu otočení \(S\) je opět bod \(S\).

Podobně se dá definovat rotace v třírozměrném prostoru jako otočení kolem jisté osy o pevný úhel. Tvar a velikost jednotlivých geometrických útvarů se při otočení nemění. Při otočení se také nemění dimenze otáčeného geometrického útvaru.

Otočení se řadí mezi shodná zobrazení.

Matice rotace

Rotace v dvourozměrné Eukleidově rovině kolem počátku souřadnic o úhel \(\alpha\) je dána vztahy

\(x^\prime = x \cos \alpha - y \sin \alpha\)
\(y^\prime = x \sin \alpha + y \cos \alpha\).

Čárkované souřadnice \(x', y'\) jsou souřadnice otočeného bodu, který měl před otočením souřadnice \(x, y\). Podobně rotace v třírozměrném Eukleidově prostoru o úhel \(\alpha\) kolem osy \(z\) je dáno vztahem

\(x^\prime = x \cos \alpha - y \sin \alpha\)
\(y^\prime = x \sin \alpha + y \cos \alpha\)
\(z^\prime = z\)

Obecná rotace v prostoru se dá zapsat ve vektorovém tvaru \(\mathbf{x'}=A\mathbf{x}\) kde \(A\) je ortogonální matice.

Matice rotace kolem osy \(\mathbf{n}=(n_1, n_2,n_3)^T\), kde \(n_1^2+n_2^2+n_3^2=1\), o úhel \(\alpha\) je

\(\begin{array}{rl}A &= \begin{pmatrix} \cos \alpha +n_1^2 (1-\cos \alpha)&n_1 n_2(1-\cos \alpha) -n_3\sin \alpha &n_1 n_3(1-\cos \alpha) +n_2\sin \alpha \\ n_1 n_2(1-\cos \alpha) +n_3\sin \alpha & \cos \alpha +n_2^2 (1-\cos \alpha) & n_2 n_3(1-\cos \alpha) -n_1\sin \alpha \\ n_1 n_3(1-\cos \alpha) -n_2 \sin \alpha & n_2 n_3(1-\cos \alpha) +n_1\sin \alpha & \cos \alpha +n_3^2 (1-\cos \alpha)\end{pmatrix}\\\;&\;\\ &=(1-\cos\alpha)\mathbf{n}\mathbf{n}^T+\cos\alpha\,I+\sin \alpha\begin{pmatrix} 0&-n_3&n_2\\n_3&0&-n_1\\-n_2&n_1&0\end{pmatrix}, \end{array}\)

kde \(I\) jednotkovou matici řádu tři. Množina všech takových matic tvoří speciální ortogonální grupu \(SO(3)\).

Rotace souřadnic

Někdy se předpokládá, že se objekty v prostoru nezměnily, ale otočil se "pozorovatel", což odpovídá změně souřadnic. Změna souřadnic, která je dána stejným vzorcem jako rotace v prostoru, se nazývá rotace souřadnic, anebo ortogonální transformace souřadnic. Pokud \(x_1,\ldots, x_n\) jsou staré souřadnice a \(x_1',\ldots, x_n'\) nové souřadnice nějakého bodu nebo vektoru které vznikly rotací, pak platí

\(\sum x_i^2=\sum (x_i')^2.\)

Rotace souřadnic o úhel \(\varphi\) kolem nějaké osy je dáno stejným vzorcem jako geometrická rotace prostoru kolem stejné osy o opačný úhel.

Související články

Externí odkazy

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Otočení
Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Oto%C4%8Den%C3%AD“